Изоморфизм упорядоченных полей действительных чисел
Доказательство. Для любого п имеем: Ап< а <А'п> Вп <�а< В’п, откуда Ап + Вп < а+b < А', + В’п. Очевидно, Ап, А’п и Вп, В’п представимы в виде конечных десятичных дробей соответственно ап, а’п и Д, Д' и, по определению 5.2.7, А" + Вп и А’п + В’п представимы в виде конечных десятичных дробей соответственно равных ап+/Зп и а’п + Д'. Число, а + Ь представимо в виде некоторой десятичной дроби… Читать ещё >
Изоморфизм упорядоченных полей действительных чисел (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Представление в виде десятичной дроби суммы и произведения двух действительных чисел
5.4.1. Предложение. Если действительные числа a ub представшМы в виде десятичных дробей соответственно аир, то, а + Ь и представимы в виде десятичных дробей, равных соответственно, а + /3 и, а — (3.
Доказательство. Для любого п имеем: Ап< а < А'п> Вп <�а< В'п, откуда Ап + Вп < а+b < А', + В'п. Очевидно, Ап, А'п и Вп, В'п представимы в виде конечных десятичных дробей соответственно ап, а'п и Д, Д' и, по определению 5.2.7, А" + Вп и А'п + В'п представимы в виде конечных десятичных дробей соответственно равных ап+/Зп и а'п + Д'. Число а + Ь представимо в виде некоторой десятичной дроби/, а по 5.3.9, при переходе от действительных чисел к соответствующим десятичным дробям отношение < сохраняется. Следовательно, из соотношений Ап + Вп< а + Ь < А'п + В'п следует ап +/Зп< у < а'" + Д'. Отсюда, по определению сложения десятичных дробей, у = а + /3.
Подобным Образом можно установить, что если я>0 Ь>0, то произведение представимо в виде десятичной дроби, равной а • /3. Легко доказать также, что число -а представимо в виде десятичной дроби -а. Если теперь а0, то -а> 0 и произведение (-а)-Ь представимо в виде десятичной дроби, равной (-а)-Д, но тогда произведение а-Ь = -((-а) Ь) представимо в виде десятичной дроби, равной — ((-а) /3 = а /3. Рассматривая аналогично остальные случаи, получаем, что всегда произведение представимо в виде десятичной дроби, равной а? [3. ?