Равнодейст вующая и условия уравновешенност и системы сходящихся сил

Сходящимися называют силы, линии действия которых пересекаются в одной точке О (рис. 1.6).

Пусть {F], …, F,} система сходящихся сил. Используя результат примера 1, переносим все силы в точку О. Затем, используя аксиому 3, находим их равнодействующую R как векторную сумму:

Система сходящихся сил имеет равнодействующую, которая равна векторной сумме всех сил системы и приложена в точке пересечения их линий дейст вия.

В случае, когда равнодействующая равна нулю,.

система (F_b …, F"} эквивалентна «пустой» системе сил, а значит, является уравновешенной.

Очевидно, справедливо и обратное утверждение: для уравновешенной системы сходящихся сил выполняется равенство (1.1). В противном случае система {F_b …, F") имеет ненулевую равнодействующую R, а значит, не может быть уравновешенной.

Таким образом, система сходящихся сил является уравновешенной тогда и только тогда, когда векторная сумма всех её сил равна нулю:

Для выполнения расчетов (решения задач) приходится использовать не векторную (1.2), а скалярную форму условия уравновешенности.

Как известно из векторной алгебры, векторное равенство (1.2) равносильно трем скалярным:

где F_ix, F_iy, F_iz — проекции силы F, на декартовы оси Ox, Оу, Oz.

То есть для уравновешенност и системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю суммы их проекций на каждую из декартовых координатных осей.

Замечание 1. Вместо декартовых осей в (1.3) можно использовать любую тройку некомпланарных осей.

Замечание 2. Если силы лежат в одной плоскости, т. е. {F|,, F"} —

плоская система сходящихся сил, то число необходимых и достаточных условий уравновешенности сокращается до двух:

Рис. 1.8.

Рис. 1.7.

Пример 3. Найти натяжения тросов АВ и АС, удерживающих груз весом 600 Н (рис. 1.7).

Для решения задачи рассмотрим равновесие той части композиции, которая обведена штриховой линией на рис. 1.8.

На эту выделенную часть действуют сила тяжести Q груза, а также силы натяжения Т, и Т₂ тросов, как показано на рис. 1.9. Это сходящиеся силы, т.к. их линии действия пересекаются в точке А.

Воспользуемся условиями уравновешенности (1.4) плоской системы.

Рис. 1.9.

Рис. 1.10.

сходящихся сил. Для этого выберем оси Ах и Ау так, как показано на рис. 1.10, и составим уравнения проекций:

Решая полученные уравнения, находим величины сил натяжения тросов. Из второго уравнения Г, = ——— =-* 849 II, а из первого.

cos45° 0,707.

Приложение 1. Вычисление проекции вектора на ось.

Рис. 1.11.

Пусть F — вектор, а х — ось произвольного направления. Из начала А и конца В вектора F опустим перпендикуляры на ось х и обозначим их основания А и В соответственно (рис. 1.11).

Определение. Проекция вектора F на ось х — это число F_x, равное длине отрезка А, В, взятой со знаком + (плюс), если направление от А, кВ, совпадает с направлением оси х и со знаком — (минус) в противном случае, т. е.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 1.12.

Проведем из начала А вектора F прямую АВ₂, параллельную оси х (рис. 1.12). Обозначив а — угол между положительным направлением оси х и вектором F, получаем из прямоугольного треугольника АВ₂В :

где F = IFI = АВ — модуль (длина) вектора F.

Заметим, что полученная выше формула.

Рис. 1.13.

будет справедливой при произвольном взаимном расположении вектора F и оси л Так, если угол а тупой (рис. 1.13), то cosor< 0 и, следовательно, F_x < 0, что полностью соответствует определению проекции.

Для некоторых частных случаев взаимного расположения вектора и оси вычисление проекций показано на рис. 1.14.

Рис. 1.14.

Приложение 2. Основные виды связей и их реакции

Рис. 1.15.

1. Гладкая поверхность. Если тело касается гладкой поверхности, то реакция направляется вдоль нормали (т.е. перпендикулярно касательной плоскости) к этой поверхности в точке касания (рис. 1.15).

Рис. 1.16.

• 2. Гибкая невесомая нить. Если тело подвешено на гибкой невесомой нити, то реакция направляется вдоль нити в направлении от тела (рис. 1.16).
• 3. Цилиндрический шарнир. Если тело закреплено на цилиндрическом шарнире с осью вращения Oz, то реакция N направляется перпендикулярно оси Oz шарнира (рис. 1.17а). Обычно для удобства вычисления проекций такую реакцию разлагают на две составляющие X и Y, направленные вдоль соответствующих координатных осей (рис. 1.176). Условное обозначение цилиндрического шарнира на плоской расчетной схеме показано на рис. 1.17 В.

Рис. 1.18.

Рис. 1.19.

• 4. Подвижный шарнир. Так обычно называют цилиндрический шарнир, ось которого может перемещаться параллельно неподвижной опорной плоскости (рис. 1.18). Реакция подвижного шарнира направляется перпендикулярно этой плоскости (рис. 1.18).
• 5. Невесомый стержень. Если тело опирается на невесомый стержень, то реакция направляется вдоль прямой, проходящей через концы стержня (рис. 1.19).
• 6. Шероховатая поверхность. Реакция шероховатой поверхности кроме нормальной составляющей N (см. рис. 1.15) включает в себя и касательную — силу трения F_Tp (рис. 1.20). Для силы трения выполняется неравенство

Рис. 1.20.

Рис. 1.17а.

Рис. 1.176.

Рис. 1.17в.

где // - коэффициент трения скольжения, который зависит от материалов и качества обработки поверхностей соприкасающихся тел.

• 7. Сферический шарнир. Это связь, которая оставляет неподвижной только одну точку тела, нс препятствуя любым поворотам тела вокруг этой точки (рис. 1.21). Реакция такого шарнира — сила, приложенная к неподвижной точке тела. Для удобства вычисления проекций её разлагают на три составляющие X, Y, Z, направленные вдоль соответствующих координатных осей.
• 1. Докажите, используя аксиомы 1, 2, 3, что система, состоящая из одной ненулевой силы, не является уравновешенной.

Рис. 1.21.

• 2. Докажите, используя аксиомы 1, 2, что две неравные ненулевые силы не могут быть эквивалентными.
• 3. Какие из аксиом 1−5 справедливы не только для абсолютно твердых тел?
• 4. Получите правило сложения двух параллельных одинаково направленных сил Fi и F₂, если их величины связаны соотношением:
  • а) F₂=3 °F,;
  • б) F₂ = Я F, где Я — любое положительное число.

Указание. Воспользуйтесь приёмом, который продемонстрирован в примере 2.

5. Груз весом 800 Н подвешен на нити, перекинутой через блок Б весом 100 Н. Блок закреплен на нити ЛВ (рис. 1.22).

Укажите все силы, действующие на блок. Образуют ли эти силы систему сходящихся сил?

Найдите натяжение нити АВ, на которой висит блок.

6. Вектор силы F не лежит ни в одной из координатных плоскостей (рис. 1.23). Запишите выражения для проекций этой силы на координатные оси.

Рис. 1.22.

Рис. 1.23.