Задача с подвижными концами и нефиксированным временем

Рассмотрим задачу Больца.

Рассмотрим, какова связь между принципом максимума и методом множителей Лагранжа. Как отмечалось, функция Понтрягина отличается от гамильтониана, рассматриваемого в методе множителей Лагранжа, тем, что в нее не включено ограничение на управление. Сопряженные уравнения (9.37а) совпадают с уравнениями Эйлера-Лагранжа (9.27а), если отсутствует фазовое ограничение: функция (рк, определяющая ограничение на управление, не зависит от фазовых координат. Но они не включают условия стационарности гамильтониана (уравнения (9.276)). Их заменяет условие максимума (9.38). Если ограничение на управление задается в виде равенств, то, используя метод неопределенных множителей Лагранжа нахождения экстремума функции, из (9.38) получим недостающие уравнения Эйлера-Лагранжа.

Пример 9.4. Определить оптимальное управление в следующей задаче оптимального управления:

Решение. Функция Понтрягина и сопряженные уравнения имеют вид

Терминант и условия трансверсальности имеют вид.

Решив сопряженные уравнения иучитывая условия трансверсальности, находим

В условии шах Я = fox2 + max fou максимум достигается, когда М<�" М^а.

управление принимает граничные значения и его знак совпадает со знаком функции fo, т. е. при и = а signfo. Так как знак линейной функции может измениться только один раз, то оптимальным может быть управление или где t — момент изменения знака функции fo. В частности, если 11 = 10, то это значит, что функция fo на интервале [0,10] не меняет знака, и управление не переключается. Выбор из двух управлений можно сделать исходя из того, какое из этих управлений обеспечивает выполнение граничных условий. Но в данном примере этот выбор можно сделать на оснований физических соображений. По условию задачи нужно повернуть вал двигателя на максимальный угол и остановить его за заданное время. Поэтому оптимальным может быть только первое из двух приведенных управлений. Остается определить только момент t переключения управления.

Проинтегрируем уравнения объекта при первом управлении с учетом начальных условий:

Используя непрерывность (?), т. е. равенство at = С2 — о&и находим С2 = 2at. Поэтому последнее соотношение можно записать в виде

Из краевого условия на правом конце траектории имеем 82(H)) = = a (2t — 10) = 0. Отсюда для момента переключения находим t = 5. Таким образом, оптимальное управление имеет вид.