Контрольные вопросы и задания

• 1. Каких^{-элементных} подмножеств данного множества больше: упорядоченных или неупорядоченных?
• 2. Требуется ли учитывать порядок расположения элементов: а) при составлении слов из букв; б) при составлении списков в алфавитном порядке; в) при распределении разных поручений между учащимися?
• 3. Расшифруйте, что означает запись Ajj с точки зрения множеств, и аргументируйте, почему имеет смысл приравнять выражение к 1.
• 4. Сравните формулы для подсчета количества сочетаний, размещений и перестановок и запишите формулу, выражающую С* через и Р_к .

Задачи для самостоятельного решения

• 5.1. У мамы три яблока и две груши. Каждый день она даст сыну по одному фрукту. Сколько способов эго сделать в первый день?
• 5.2. В турнире участвуют пять человек. Сколькими способами могут распределиться места между ними?
• 5.3. Сколько способов рассадки двенадцати гостей: а) за круглым столом; б) на карусели?
• 5.4. Из цифр 1, 2,3,4,5 составлены пятизначные числа, нс кратные пяти и нс содержащие одинаковых цифр. Сколько существует таких чисел?
• 5.5. Тридцать книг: 27 книг различных авторов и трехтомник одного автора помещены на одной полке. Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли вместе?
• 5.6. Сколькими способами из 40 учеников класса можно выделить актив в следующем составе: староста, учебный сектор, редактор стенгазеты?
• 5.7. В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов. Сколькими способами могут распределяться места между школьниками, если известно, что никакие два участника нс набрали одинакового количества очков?
• 5.8. Сколькими способами можно выбрать три ленты разных цветов из пяти лент разных цветов?
• 5.9. В шахматном турнире принимают участие 12 шахматистов. Сколько будет сыграно партий, если любые два участника встретятся между собой только один раз?
• 5.10. Из отряда солдат в 40 человек, среди которых есть рядовой Иванов, назначаются в караул три человека. Сколькими способами может быть составлен караул? В скольких случаях в число караульных попадет рядовой Иванов?
• 5.11. Из города А в город В ведет пять дорог, а из В в С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведет из Л в С?
• 5.12. Сколькими способами можно из 15 солдат и четырех офицеров назначить в патруль трех солдат и одного офицера?
• 5.13. На железной дороге 25 станций. На каждом билете печатаются станция отправления и станция назначения. Сколько всего различных билетов нужно оформить, если: а) каждый билет действителен только в указанном направлении; б) каждый билет годен либо на поездку «туда», либо на поездку «обратно»?
• 5.14. В некоторой стране номера автомобилей состоят из двух букв, за которыми следуют две цифры, например АВ-53. Сколько различных номеров можно составить, если использовать пять букв и шесть цифр (цифры и буквы в одном номере нс повторяются).
• 5.15. От двух спортивных обществ, в каждом из которых по 40 фехтовальщиков, надо выделить по три фехтовальщика для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
• 5.16. Собрание из 100 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами эго можно сделать?
• 5.17. В кружке художественного слова занимаются 15 человек, в фортепьянном — 10, в вокальном — 13, в фотокружке — 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
• 5.18. Для полета в космос необходимо укомплектовать следующий экипаж: командир корабля, первый помощник, второй помощник, два бортинженера и врач. Командная тройка может быть выбрана из 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера — из 20 специалистов, врач — из восьми медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?
• 5.19. На кафедре математики девять преподавателей. Сколькими способами можно составить расписание консультаций на девять дней, если каждый преподаватель дает консультацию ровно один раз?
• 5.20. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,4?
• 5.21. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано стартовых пятерок?
• 5.22. Семь членов профсоюзного комитета должны выбрать из своего состава председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
• 5.23. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется ткань пяти цветов?
• 5.24. Второго сентября 2016 г. на первом курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции, но различным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на 02.09.2016?
• 5.25. Из 10 кандидатов нужно избрать трех членов команды факультета — капитана, аналитика и интерпретатора для участия команды факультета в педагогической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
• 5.26. Сколько существует трехзначных чисел в десятичной системе счисления?
• 5.27. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 5498, если каждую цифру использовать не более одного раза?
• 5.28. Из Москвы до Волгограда можно добраться теплоходом, поездом, автобусом, самолетом; из Волгограда до Котельниково — поездом и автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Москва — Волгоград — Котельниково?
• 5.29. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если ни одна из цифр не повторяется более одного раза?
• 5.30. В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?
• 5.31. В студенческой группе 20 девушек и 10 юношей. Выбираются три человека для участия в конференции. Найдите вероятность того, что отобраны три девушки.
• 5.32. В одной урне 6 белых и 4 черных шара, во второй — 7 белых и 3 черных. Из каждой урны наугад вынимаем по одному шару. Чему равна вероятность того, что: а) оба шара белые; б) шарики разных цветов?
• 5.33. Слово «МОЛНИЯ» разрезали на буквы, взяли наугад 4 буквы и выложили в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово «МИЛЯ»?
• 5.34. В ящике лежат 13 зеленых, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь шаров. Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что вынуто 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шара?
• 5.35. В ящике учительского стола лежат внешне одинаковые тетради: 12 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку. Из ящика наугад вынимают две тетради. Какова вероятность того, что: а) обе тетради в клетку; б) тетради разные?
• 5.36. В одном ящике лежат 8 белых и 12 красных шаров, в другом — 15 синих и 5 черных шаров. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что вынули красный и черный шары?
• 5.37. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых одинаковых на ощупь шаров. Наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?
• 5.38. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. Карточки выкладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «МОСКВА»?
• 5.39*. На шахматном турнире, проводившемся в один круг, была сыграна 91 партия. Сколько человек участвовало в турнире?
• 5.40*. Из четырех математиков и пяти филологов требуется выбрать комиссию в составе четырех человек, при условии что в комиссию войдет хотя бы один математик и хоть один филолог. Сколькими способами это можно сделать?
• 5.41*. Из 4 инженеров и 9 экономистов составляют комиссию, состоящую из 7 человек. Сколькими способами это можно сделать, если в комиссию должны войти хотя бы 2 инженера?
• 5.42*. Сколько четных пятизначных чисел можно образовать из цифр 0,1,2,3,4, при условии что каждая цифра входит в число один раз?
• 5.43*. На студенческом вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
• 5.44*. У дизайнера имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами он может осуществить обивку стульев, если каждый стул декорируется только одним цветом ткани?
• 5.45*. В новый район посреди учебного года переехали пять семей восьмиклассников. Они одновременно пришли записываться в школу. Все три восьмых класса уже примерно равномерно заполнены, но школа заинтересована в новых учениках, а мамам не нравится то один, то другой вариант распределения учащихся по классам. Сколько вариантов распределения учащихся, но классам надо предложить мамам, чтобы рассмотреть все возможности и избежать претензий к школе?
• 5.46*. В ящике лежат 12 белых и 8 красных одинаковых на ощупь шаров. Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что: а) ровно 3 из них красные; б) красных шаров вынуто не больше 3?
• 5.47*. В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров, а) Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что хоть один из них окажется белым? б) Наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что среди них окажется не более одного белого шара?
• 5.48*. У филателиста есть 8 разных марок на космическую тему и 10 разных марок на спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки первого вида и 3 марки второго вида в альбом на 6 пронумерованных мест?
• 5.49*. Сколькими способами можно расставить на 32 нолях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?
• 5.50*. В ящике лежат 31 деталь первого сорта и 6 деталей второго сорта. Наугад вынимают 3 детали. Чему равна вероятность того, что: а) все детали первого сорта; б) хотя бы одна из вынутых деталей первого сорта?
• 5.51*. Придумайте задачу, математическая модель которой связана с использованием: а) А$; б) Cf₀.
• 5.52*. Известно, что в комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сформулируйте вопрос к этому условию, чтобы получилась задача, имеющая своим решением следующую формулу: А% • • А| = 172 800.
• 5.53*. Посчитайте количество дисциплин, изучаемых на вашем факультете в текущем семестре и имеющих две формы проведения занятий: лекции и практические занятия. Посчитайте, сколькими различными способами можно составить расписание занятий одного дня:
  • а) если в этот день должно быть четыре пары;
  • б) если при этом еще среди четырех пар должны быть две лекции и две практики;
  • в) если при этом еще практики должны чередоваться с лекциями;
  • г) если при этом еще учебный день должен начинаться с лекции;
  • д) если при этом еще в один день практики должны быть по тем же дисциплинам, что и лекции.

Оцените результаты и сделайте заключение, какие требования имеет смысл предъявить к расписанию занятий на один день. Внесите свои предложения.