Нормированные простые ставки обобщенных кредитных сделок

Нормированная процентная ставка простой сделки со сроком Т_у начальной суммой долга Р и полной суммой S определялась как.

Отсюда в параграфе 3.2 было получено ключевое уравнение.

которое можно рассматривать как уравнение баланса для простой сделки, в которой основной долг погашается одним погасительным платежом.

основная часть которого совпадает с начальной суммой долга Р, а процентная — с величиной процентов за период сделки.

Рассмотрим теперь обобщенную кредитную сделку, подразумевающую погашение кредита с основной суммой Р, выданной в момент времени t₀> и серией погасительных платежей.

Допустим, что в соответствии с условиями этой сделки погасительный поток CF полностью погашает долг Р. Необходимо подчеркнуть, что это допущение есть просто соглашение сторон кредитного контракта — кредитора и должника.

Важно понимать, что в определении общей кредитной сделки нет никакого упоминания о процентных ставках, как его не было и при определении простой кредитной сделки. Формально сделка определяется лишь в терминах контрактной эквивалентности двух потоков — кредитного и погасительного. В нашем случае кредитный поток сводится к событию (t₀> -Р), хотя на практике встречаются и более сложные случаи, например кредитная линия и т.и. И точно так же, как в случае простой кредитной сделки, был поставлен вопрос о количественной мере ее эффективности или стоимости, можно поставить вопрос об аналогичном показателе и для обобщенной сделки. Иными словами, можно ли каким-нибудь способом определить такую ставку, которая могла бы отражать эффективность или стоимость обобщенной сделки в целом с учетом внутренних (на периоде сделки) платежей? Такую ставку принято называть внутренней процентной ставкой сделки. При этом естественно также требовать, чтобы в вырожденном случае, т. е. когда погасительный поток платежа сводится к единственному платежу, внутренняя ставка сделки совпадала с простой нормированной ставкой сделки.

К сожалению, однозначным образом без каких-либо предварительных предположений ответить на этот вопрос невозможно. Однако вопрос становится корректным и внутренняя ставка вполне определенной, если мы будем рассматривать сделку в рамках одной из рассмотренных выше моделей схем погашения. Поэтому параметры t₀, Р₀, CF обобщенной кредитной сделки позволяют определить, вообще говоря, не одну, а три внутренние процентные ставки: а) коммерческую ставку г^соп равную нормированной ставке /, для которой выполняется условие баланса.

в коммерческой модели;

б) актуарную ставку i^act — нормированную ставку i, для которой выполняется условие баланса.

в актуарной модели;

в) потребительскую ставку i^cons, для которой выполняется уравнение баланса.

в модели потребительского кредита.

По крайней мере в двух случаях мы можем записать явные, причем линейные, уравнения, определяющие внутреннюю ставку сделки. Так, для коммерческой схемы погашения уравнение для ставки i^com имеет вид.

Решая это уравнение относительно i, получим.

Для потребительской схемы погашения имеем уравнение баланса, определяющее потребительскую ставку:

где Т = t"-1₀. Решая это уравнение, получим.

Наконец, для схем погашения с одинаковыми погасительными платежами, т. е.

можно написать уравнение для актуарной ставки. Уравнение баланса в этом случае (как будет показано в дальнейшем) имеет вид.

Это нелинейное уравнение. Решая его одним из известных приближенных методов, можно найти приближенное значение ставки i^act.

Таким образом, вопрос, какова истинная ставка обобщенной кредитной сделки погашения, некорректен. Ответить на него можно лишь в рамках указанной схемы (модели) погашения. Поскольку условия сделки представляют собой обоюдные соглашения сторон, то в конечном счете важно лишь то, действительно ли обе стороны соглашаются считать, что погасительный поток CF точно и полностью погашает долг Р. Такое соглашение, вообще говоря, может не предусматривать никаких упоминаний о какой-либо модели погашения. Однако вопрос о модели погашения непременно возникнет, если необходимо отслеживать процесс погашения долга, находить его промежуточные состояния и т. д. Это особенно важно, когда, но тем или иным причинам исходная схема изменяется или, как говорят, долг реструктуризуется. В этом случае необходимо знать невыплаченный остаток долга и прийти к соглашению о новой схеме его погашения. Конечно, и в этом случае можно считать, что стороны вновь просто договариваются о том, как видоизменяется погасительный поток, чтобы по-прежнему он находился в балансе с невыплаченным долгом. На практике, конечно, действуют систематическим образом, т. е. теоретически стороны в любой момент времени знают состояние процесса погашения и свои позиции в нем. Но такое возможно лишь при известной модели процесса или схемы погашения. Поэтому, хотя обобщенную кредитную сделку можно описать в терминах лишь основного долга и погасительного потока, такое описание будет неполным в двух отношениях. Во-первых, в случае расторжения, прерывания, реструктуризации и т.и., как отмечалось выше, необходимо определять текущее состояние сделки. Во-вторых, без указания модели погасительного процесса нет возможности сравнения эффективности (доходности) сделки с точки зрения кредитора и ее стоимости с точки зрения должника. Указание модели погашения сразу позволяет находить эти характеристики схемы погашения, описываемые внутренней простой нормированной процентной ставкой. Тогда сравнение различных сделок можно осуществлять по величине этой ставки, рассматривая, естественно, обе сделки в рамках одной модели. После всего сказанного становится ясно, что ответ на вопрос, какова реальная стоимость потребительского кредита со ставкой i, тавтологичен: она равна указанной ставке i. Если же мы под реальной стоимостью будем понимать внутреннюю ставку в другой модели погашения, то это некорректно. Можно лишь спросить, какова внутренняя процентная ставка аналогичной (с тем долгом и погасительным потоком) сделки в другой, например коммерческой или актуарной моделях, но это совсем другой вопрос.

Пример 6. Рассмотрим кредитную сделку с суммой долга Р = 1000 руб., погашаемого четырьмя одинаковыми платежами по 300 руб. в конце каждого квартала. Найти внутренние годовые ставки для каждой схемы погашения.

Решение. Для коммерческой модели балансовое уравнение для ставки имеет вид.

где j — ставка за квартал, или Отсюда получаем, что и, следовательно, годовая ставка равна В потребительской схеме имеем уравнение.

откуда

Наконец, в актуарной модели для квартальной ставки j получаем уравнение.

Это уравнение имеет единственный положительный корень. Решая его одним из приближенных методов, получим.

и, следовательно, годовая актуарная ставка будет равна.

или.

Таким образом, как показывает пример, при погашении долга равномерными погасительными платежами самая высокая ставка соответствует коммерческой модели. Именно этот факт и является основанием для вывода о том, что реальная ставка кредита в данном примере — не объявленные 20% годовых потребительской схемы, а, например, 36,36% коммерческой. Однако кроме коммерческой схемы есть еще и актуарная модель и ей соответствует 30,86%, что больше потребительской, но меньше коммерческой ставки. Какая из двух ставок является реальной? Вполне возможно придумать и другие схемы погашения, которые, возможно, дадут и другие значения стоимости кредита. Бесспорным является, конечно, факт, что схема (актуарная и коммерческая), учитывающая временную стоимость денег, дает значения внутренней ставки более высокие, чем значение потребительской ставки, но, на наш взгляд, все же прямое сравнение ставок, полученных в разных моделях, строго говоря, некорректно. Как мы неоднократно будем убеждаться в дальнейшем, определение индивидуальных характеристик сделок — это, в некотором смысле, произвольный акт. Мы могли бы для определения эффективности или относительной стоимости кредита брать не обычную нормированную простую ставку, а ее логарифм или коэффициент роста и вообще некоторую безразмерную функцию временных и финансовых параметров. В последующем мы определим так называемую эффективную ставку сделки и др. Каждое такое определение есть, по существу, задание определенной модели оценивания эффективности и (или) стоимости кредитной операции. Непосредственное сопоставление значений ставок для одной и той же сделки, но в разных моделях, вообще говоря, некорректно. Но зато осмысленным является сравнение эффективности разных сделок относительно одной и той же модели. Дороговизна потребительской схемы погашения заключается не в том, что истинная стоимость этой сделки выше объявленной ставки, а в том, что реальные погасительные платежи для заданной суммы кредита при этой объявленной ставке в других схемах оказываются существенно меньшими.

Пример 7. Найти величину погасительного платежа для кредита 1000 руб., погашаемого четырьмя одинаковыми выплатами в конце каждого квартала по ставке 20% годовых в каждый из рассмотренных моделей.

Решение. Для потребительского кредита величина платежа равна.

Для коммерческого правила из уравнения баланса получаем.

или.

откуда.

Наконец, для актуарной модели уравнение баланса, как несложно показать, имеет вид.

или.

откуда

Таким образом, самой дешевой по суммам погашения для заданной годовой ставки 20% является, как и следовало ожидать, коммерческая модель.

Факт, который мы сформулировали в конце предыдущего примера, выполняется и в общем случае. Для любых заданных величины кредита и ставки среди всех схем погашения с равными платежами наименьшей величиной погасительного платежа будет обладать коммерческая модель. Вместе с тем для любой кредитной сделки с одинаковыми погасительными платежами внутренняя ставка по коммерческой схеме будет наибольшей. Несложное доказательство этих утверждений мы оставляем читателю.