Решения и ответы

К подразделу 1.1.

1. Уравнение (3)

при положительных постоянных а и Ь и при различных знаках с принимает вид:

Видно, что полученные уравнения соответствуют гиперболам, описанным в тексте.

2. Разделяя переменные в уравнении (7), имеем.

откуда, интегрируя, получаем.

Потенцируя и используя начальное условие х (0) = х₀, приходим к соотношению (8).

3. Ищем решение уравнения (9) в виде.

Тогда Подставляя эти выражения в уравнение (9), находим поэтому общее решение уравнения (9) представимо в виде.

Используя начальные условия (10), с помощью найденного общего решения получим.

откуда находим значения С] и С₂:

Теперь общее решение уравнения (9) с помощью гиперболических функций может быть переписано в виде (11).

4. Используя первое из уравнений (1) и выражение (11) для *(/), получим.

5. Рассмотрим решения уравнения (20) при разных с. Используя таблицы неопределенных интегралов, имеем:

• 6. Используя полученные в предыдущей задаче выражения, имеем:
  • а) х —> 0 при / —> оо. Победителя нет. Постоянная Cj выбирается с помощью начального условия х (0) = 2/(аС_х) = х₀;
  • б) jc —> yJ2C/a при t -> оо, т. е. численность регулярной армии никогда не обращается в нуль. Из соотношения (18) при этом следует, что

• в) x (t) обращается в нуль при конечном времени t_x =-С_}: регулярная армия уничтожена.
• 7. Выражение для y (t) получается с помощью первого из уравнений (16):

где производная dx/dt вычисляется с помощью выражений, полученных в задаче 5.

В случае с = 0 для y (t) получаем.

где С, = 2/(ахь).

В случаях положительных и отрицательных значений постоянной с нужно дифференцировать соответствующие выражения для х (/) как неявные функции времени. Записав их в виде.

имеем Теперь для нахождения dx/dt осталось продифференцировать логарифм и арктангенс, определяющие неявные функции *(/) в случаях с > 0 и с < 0 соответственно.

К подразделу 1.2.

1. Используя тождество.

перепишем уравнение (7) в виде.

поэтому, интегрируя При выбранной системе единиц х < 1, последнее выражение, получим.

Потенцируя это соотношение, получим.

откуда следует выражение (8) для x (t).

2. Уравнение (3) сводится к уравнению (7) при надлежащем выборе единиц измерения х и /. Из решения (8) следует, что.

Для уравнения (3) это означает, что.

Этот результат можно увидеть, не решая уравнения (3): так как х < Л/, то правая часть уравнения (3) положительна и х (Г) монотонно увеличивается со временем. По мере приближения х к М правая часть убывает и при х — М обращается в нуль — x (t) перестает увеличиваться. Вследствие монотонности роста х можно утверждать, что lim x (t) = M.

3. Записав уравнение (9) в виде.

можно его проинтегрировать с помощью формул вычисления интегралов от простых рациональных дробей. Имеем:

4. Интеграл в (16) можно вычислить, используя тождество.

5. а) При М = Н уравнение принимает вид.

Записывая последнее уравнение в виде.

или В результате имеем.

Определяя постоянную С с помощью начального условия х (0) = х₀, получаем.

Отсюда следует, что х (7) —> 0 при t -" б) При М < Н уравнение имеет вид.

и используя тождество.

приходим к равенству.

Определяя постоянную С с помощью начального условия х (0) = х₀₎ получаем.

Отсюда следуют сделанные в условии задачи утверждения, в) При Я < М уравнение имеет вид.

Это уравнение решается и исследуется так же, как и в задаче 2. 6. При L-M уравнение (13) принимает вид.

Решение этого уравнения записывается следующим образом:

• а) Если х₀ > М, то x (t) Л/ при /
• б) Если *о < Л/, то *(/) обратится в нуль при

7. Совершая замену приводим заданное уравнение к виду.

Надлежащим выбором единиц измерения х и t это уравнение приводится к виду (9).

К подразделу 1.3

1. Уравнение (7) можно проинтегрировать, записав его в виде.

и воспользовавшись тождеством.

В результате приходим к формуле (9).

2. Уравнение (15) можно проинтегрировать, используя тождество.

Выражая постоянную интегрирования через х (0) = х₀, после очевидных преобразований приходим к формуле (16).

3. а) Критическая точка х = -2 устойчива; критическая точка х — +2 неустойчива;

б) Неустойчивая критическая точка х = 1;

в) Устойчивая критическая точка х = 2;

4. Уравнение имеет вид поэтому квадратное уравнение.

имеет корни Н = 1 и N = 3. Итак, пороговое значение популяции рыб равно 100, поэтому вся рыба будет переловлена, если однажды численность популяции опустится ниже этого уровня. Новое предельное значение численности популяции равно 300.

5. Решение имеет вид.

• 6. Для первого уравнения х = b — единственная устойчивая критическая точка. Для второго уравнения х = Ь — единственная неустойчивая критическая точка.
• 7. Сравните свои ответы с рисунками в подразделах 1.1 и 1.2.
• 8. а) Можно построить поле касательных для всех точек (/, х) при х > 0.
• б) Решение, соответствующее начальному условию х (0) = 2, получается сдвигом заданного решения влево до пересечения с точкой (0, 2) на оси х.
• 9. Заданное векторное поле соответствует системе уравнений:

Отсюда, дифференцируя первое уравнение и подставляя из второго уравнения, получаем.

Общее решение этого уравнения имеет вид где С и, а — произвольные постоянные. Для у{1) имеем.

Из двух последних равенств получаем.

Отсюда следует, что векторы заданного векторного поля касательны семейству окружностей, с центрами в начале координат плоскости (х, у).

К подразделу 1.4.

1. Объединив слагаемые, содержащие косинус и синус в уравнениях (18) и возводя правые и левые части получившихся выражений в квадрат, приходим к равенству.

которому соответствует эллипс с указанными свойствами.

• 2. Доказательство сводится к рассмотрению малых колебаний при отклонении начального состояния от состояния, соответствующего точке А.
• 3. На рис. 1.28 показаны поле касательных и несколько фазовых траекторий для системы уравнений:

являющейся частным случаем рассматриваемого примера. Система уравнений имеет три критические точки: (0, 0), (7, 0) и (5, 2). К последней из них сходятся по спиралям фазовые траектории.

• 4. Подумайте над вопросом и предложите свои варианты. Полный ответ содержится в следующем далее тексте пособия.
• 5. Поле касательных рассматриваемой системы уравнений состоит из векторной суммы отрезков, образующих прямые углы с радиусом-вектором (см. задачу 9 в подразд. 1.3), и отрезков, направленных вдоль и против ради уса-вектора, в зависимости от

знака sin yjx² + у². Периодические орбиты соответствуют уравнениям yjx² + у² — пп. При нечетных п эти орбиты являются предельными циклами, поскольку радиальные части «микрокасательных» поля направлены наружу внутри каждой траектории и внутрь снаружи траектории.

• 6. а) Вид у вымирает естественной смертью вследствие старения, вид х естественно размножается, причем это размножение происходит более интенсивно в присутствии вида у.
• б) Решения можно построить с помощью поля касательных. Можно также найти аналитический вид решения:

где С и D — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Фазовый портрет решений показан на рисунке.

7. а) Критические точки заданной системы уравнений находятся из следующих условий:

Из первого уравнения получаем х = 0 или 2 — х — у = 0.

Для второго уравнения имеем у = 0 или 3 — у — 2х = 0. В результате получаем четыре критические точки: (0, 0), (0, 3), (2, 0) и (1, 1).

Рисунок к решению задачи 7

б) Поле касательных и фазовый портрет показаны на рисунке. Система оказывается очень чувствительной к выбору начальных условий, в чем можно убедиться, проведя численное решение заданной системы дифференциальных уравнений для двух различных, но близких значений начальных условий.

К подразделу 1.5.

1. Ищем решение однородного уравнения.

в виде Вычисляя xⁿ(t) = XⁿCe^Xt, приходим к характеристическому уравнению (5). Общее решение уравнения (4) записывается в виде.

где Л, …, Х_п — комплексные корни уравнения (4), а С, …, С_п — произвольные постоянные.

2. Если и = r (cos.

i sirup) является корнем порядка п числа z = R (cos |i + i sin у), to.

Отсюда следует выражение (6), поскольку.

3. Каждому X_k в (6) соответствует решение уравнения (4) вида Решение не будет нарастать со временем при условии.

Поэтому устойчивыми (т.е. затухающими со временем) будут только решения, соответствующие лежащим в левой полуплоскости комплексной плоскости X значениям Х_к. Отсюда следуют высказанные в условии задачи утверждения.

К подразделу 1.6.

• 1. Примером математической модели труднореализуемых объектов является любая модель из серии моделей иммунного ответа организма на вирусную инфекцию, рассмотренную в гл. 4. Там подробно описывается введение характеристик системы, в терминах которых формулируется модель.
• 2. Простейшей моделью является модель, в которой на шарик действует единственная сила со стороны пружины, пропорциональная смещению из равновесного положения и направленная к положению равновесия. Это модель гармонического осциллятора, которая может обобщаться в разных направлениях: учет нелинейных свойств пружины, учет силы сопротивления движению, учет внешнего периодического и непериодического воздействия на шарик и т. д.
• 3. Идеализация системы при построении модели колебаний заключается, например, в пренебрежении при использовании модели материальной точки для колеблющегося шарика всеми силами, кроме силы со стороны упругой пружины, в пренебрежении массой пружины и т. д. Аналогия наглядно проявляется при рассмотрении колебаний различной природы — механических, электромагнитных и т. д. Для нелинейных колебаний широко используется метод фазовой плоскости, метод построения решений в виде бесконечных рядов и др.
• 4. Неучитываемые в модели воздействия на систему связаны с такими измерениями, которые приводят к изменению численности популяций именно в результате проводимых измерений. Такие воздействия отсутствуют, например, при измерении численности путем фотографирования процессов миграции животных.

К подразделу 1.7.

1. Заменим непрерывную область 0 < х < I на дискретную совокупность конечного числа точек N. Например, это можно сделать так: х, = /А, где И — l/N> / = 0, 1, …, N. Все фигурирующие в уравнении функции рассматриваются теперь как функции дискретного аргумента х,. Производные заменяются конечными разностями. Введем обозначения:

Разложив функцию /(х) в ряд Тейлора, убеждаемся в спра ведливости равенств:

Аналогично можно получить соотношение.

Для граничных условий имеем.

Итак, дискретный аналог представляет собой систему N -1 разностных уравнений для определения N -1 значений приближенного решения y_t в точках х, :

Можно построить другие дискретные аналоги.

2. Значения Р_п представлены в таблице^[1]

п	*=0,5.	*=2.	*=3,5.
	0,1250.	0,5000.	0,8750.
	0,0546.	0,5000.	0,3828.
	0,0258.	0,5000.	0,8269.
	0,0125.	0,5000.	0,5008.
	0,0062.	0,5000.	0,8749.

• 4. При с = ¼ имеется одна фиксированная точка. При с < ¼ имеется две фиксированные точки. При с > ¼ фиксированных точек нет.
• 5. При с > -¾ циклов с периодом 2 нет.

При с < -¾ имеется два цикла с периодом 2.

К подразделу 1.8.

I. Функция F{x) = кх имеет притягивающую фиксированную точку х₀ = 0 при |А:| < 1, как показано на рис. а.

Функция F (x) = kx имеет отталкивающую фиксированную точку xq = 0 при |fc| > 1, как показано на рис. б.

• 2. Функция F (x) = х² + х имеет нейтральную фиксированную точку х₀ = 0, как показано на рисунке.
• 3. Функция F (x) = х + х имеет отталкивающую фиксированную точку Xq = 0, как показано на рисунке.
• 1

Рисунок к решению задачи 2 Рисунок к решению задачи 3

4. При X < 0 производная ^ отрицательна при любом г, по;

dt

этому все орбиты сходятся к точке г = 0 при При X > О

производная отрицательна при г > %/Л, положительна при г <-JX и равна нулю при г = -JX. Поэтому г = JX соответствует предельному циклу, на который выходят все орбиты при t -«~.

К подразделу 1.9.

1. На рис. а (см. рис. к задаче I) показаны сечения Пуанкаре, возникающие при 1000 итераций. Обозначены первые четыре точки возврата.

На рис. б (см. рис. к задаче I) показаны сечения Пуанкаре, возникающие при 250 итераций. Обозначены первые четыре точки возврата.

2. На рис. а (см. рис. к задаче 2) показаны сечения Пуанкаре, возникающие при 500 итераций. Обозначены первые четыре точки возврата.

На рис. б (см. рис. к задаче 2) показаны сечения Пуанкаре, возникающие при 500 итераций. Обозначены первые четыре точки возврата. Весьма сложное поведение, как видно из приведенных рисунков, обнаруживают весьма простые системы при действии на них периодических сил.

К подразделу 1.10.

1. Перепишем уравнение в виде.

Теперь уравнение принимает вид.

и легко интегрируется. Учитывая начальное условие *(0) = х^, приходим к следующему выражению для x (t):

Видно, что х (!) -> е^{ь, а} при /-«.

2. Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли дается соотношением.

где g — ускорение на поверхности Земли, а Л — ее радиус. Видно, что даже если И составляет несколько десятков километров, отличие g (h) от g оказывается величиной порядка одного процента. Поэтому уравнение движения камня можно записать в виде.

Переписав его в виде.

и проинтегрировав при начальном условии и (0) = 0, получаем.

Видно, что v® —> mg/к при t —> °°. Этот результат можно получить непосредственно из дифференциального уравнения, полагая производную dv/dt равной нулю.

откуда, интегрируя при начальном условии v (0) = v₀, получаем.

Видно, что тело остановится только спустя бесконечно большой промежуток времени:

Однако до полной остановки тело пройдет конечный путь. Проще всего это увидеть, переписав исходное уравнение в виде.

откуда Теперь видно, что пройденный до остановки путь равен.

к

4. Уравнение движения имеет вид

Интегрируя при условии у (0) = v_Qt получим.

Поскольку v (t) = dx/dt, то, интегрируя при начальном условии х (0) = Хо, получим.

Видно, что х (/) «> при t -> т. е. рассматриваемая модель перестает быть адекватной явлению через конечное время.

К подразделу 1.11.

• 1. При дифференцировании выражения (2) следует учесть, что второе слагаемое в правой части этого выражения приведет к появлению двух членов в выражении для производной, поскольку время t входит как в пределы интегрирования, так и в подынтегральное выражение. Выполнив дифференцирование и учтя в получившемся соотношении формулу (2), получим уравнение (1).
• 2. Интеграл по переменной р в левой части выражения (6) вычисляется в помощью правил интегрирования с d-функцией, после чего обычным образом вычисляется интеграл по 5, приводя к правой части в (6).

Для нахождения соотношения (7) следует с помощью формулы (2) записать выражение для v²(t)_y затем провести усреднение получившегося выражения, учитывая соотношение (4). При этом в силу первого из равенств (4) пропадает слагаемое, соответствующее перекрестному члену, возникающему при возведении в квадрат правой части формулы (2). Квадрат второго слагаемого в правой части (2) следует записать как произведение двух одинаковых интегралов по переменным s и р, а при усреднении произведения u (s)u (p) воспользоваться вторым из соотношений (4). После этого использование соотношения (6) немедленно приводит к формуле (7).

3. Формула (12) получается при вычислении интегралов по переменным г| и? в соотношении (11). Для этого следует воспользоваться вторым из соотношений (4) с учетом найденного значения постоянной С и перейти к новым переменным.

при которых, как нетрудно убедиться, d^dr = dwdq. Появляющаяся при такой замене переменных 5(ш) дает отличный от нуля вклад только при равных значениях? и г|, поэтому верхний предел в интеграле по q будет равен 2s или 2р, в зависимости от того, какая из этих величин больше другой: он равен удвоенной меньшей величине. Единым образом этот предел можно записать как (р + $)-|р-$|. После этих преобразований интегралы вычисляются элементарно, приводя к соотношению (12).

4. Выражение (13) получается после подстановки соотношения (12) в формулу (10) и вычисления интегралов. Единственную трудность при этом может представлять слагаемое, содержащее exp (-a|s-p|).

Для вычисления интеграла с этим слагаемым следует сделать замену переменных.

после чего получаем.

Остальные интегралы легко вычисляются, приводя к формуле (13).

• 5. Для получения предельных случаев (14) и (15) следует при at at с точностью до квадратичных членов включительно, а при at «1 вообще пренебречь слагаемыми, содержащими экспоненты, после чего пренебречь всеми постоянными слагаемыми, не зависящими от времени.
• 6. С помощью (5) и (9) для (*(/)) находим

При at «: 1 получаем (*(/)) = v₀t.

При at з> 1 имеем (*(/)) = v₀/a.

Видно, что на малых временах сохраняется «динамическое» поведение для среднего значения смещения.

7. Уравнение (22) следует непосредственно из (18) при подстановке в (18) соотношения (20), в котором коэффициент а выражен с помощью (21), и выполнении интегрирования с 5-функцией.

К подразделу 1.12.

1. Если /(0) = 0, то f (x) = 0 является решением предложенного уравнения.

Если /(0) ф 0, то введем функцию.

Теперь предложенное уравнение принимает вид.

Дифференцируя обе части этого равенства по х, получим Решение этого уравнения имеет вид.

Кроме того, имеется решение g (x) = 1.

Итак, получаем решения исходного уравнения:

2. Положим х = у = 0 и введем обозначение.

Тогда исходное уравнение принимает вид.

Корни этого квадратного уравнения комплексные, поэтому вещественных решений у исходного уравнения нет.

К подразделу 2.1.

1. Подставляя в выражение (25) явное представление для Р и разлагая экспоненту в ряд Тейлора, ограничимся главными членами по п. Тогда получим.

• 2. Использование различных значений параметров Ли и для каждой из трех ступеней ракеты приведет к замене выражения (19) для и₃ на аналогичное соотношение, в котором будет отсутствовать множитель и перед логарифмом; в знаменателе каждого из трех множителей под знаком логарифма будет стоять соответствующее Л/ (/ = I, 2, 3) и каждый из этих множителей будет возводиться в степень щ (/ = 1, 2, 3).
• 3. Каждый из коэффициентов Л, (/ = 1, 2, 3) в соотношении (20) имеет смысл отношения т_к_/т_к для трехступенчатой ракеты. Такая же структура сохраняется и для л-ступенчатой ракеты при условии постоянства скорости и истечения газа из сопла двигателей. Оптимальная конструкция ракеты обеспечивается равенством всех коэффициентов а, в (21), что и доказывает приведенное утверждение.

К подразделу 2.2

• 1. В статическом случае невозможность локализации даже электроне йтральной в целом плазмы внутри ограниченного объема следует из теоремы Ирншоу о неустойчивости любого равновесного распределения зарядов под действием только электростатических сил. При учете движения частиц невозможность локализации немедленно следует из того факта, что статистическая сумма для системы частиц с неравным нулю полным электрическим зарядом заведомо расходится.
• 2. Размерности величин т, п, е² и 0 в системе единиц с основными величинами Л/, L и Т имеют вид:

Отсюда сразу следует, что безразмерный параметр должен содержать отношение е²/0, иначе не сокращается время Т. При этом в отношении е²/б сокращается и Л/, после чего для сокращения L нужно домножить числитель на л^,/3. В результате приходим к соотношению (14).

3. Характерный размер наименьшей электроне йтральной области в плазме определяется соотношением (18) для радиуса дебаевского экранирования кулоновского взаимодействия. Разделив этот размер на характерную скорость хаотического теплового движения (v) = Jo/rn, получаем t_p, определяемое соотношением (16) как характерное время прохождения электронейтральных комплексов друг мимо друга. Но именно это время и имеет смысл времени корреляции во взаимодействии нейтральных частиц посредством короткодействующих сил.

К подразделу 2.3.

1. Неизвестная функция f (x) и заданное ядро F (x, х) интегрального уравнения раскладываются в ряды Фурье по полной ортонормированной системе функций ср, (х):

Коэффициенты Ь_пк вычисляются с помощью соотношения.

После подстановки этих разложений в интегральное уравнение оно превращается в бесконечную систему алгебраических уравнений для коэффициентов разложения а_п.

• 2. Использование уравнений (3) требует знания начальных условий для величин У Однако, если для величин Квзять квазиравновесные значения, соответствующие решениям (2) при t -> «>, то это будет соответствовать ситуации, когда величины Туспевают релаксировать и прийти в квазиравновесное состояние, не зависящее от начальных условий, при фиксированных значениях величин X. Для величин X это означает переход к новому огрубленному масштабу времени, поэтому в уравнении (4) dt микроскопически мало по отношению к изменению величин X, но всетаки много больше характерного времени «забывания» исходных значений У
• 3. В отсутствие слагаемого F (t) в правой части уравнения (7) характерное время изменения величины Fj (t) представляет собой величину, равную т, = 1/у,. Если т, окажется много меньше характерного времени т изменения величины F (t), то в дифференциальном уравнении (7) можно пренебречь производной dFi/dt по сравнению со слагаемыми, входящими в правую часть этого уравнения. Это приводит нас к алгебраическому уравнению (8).
• 4. При переходе к огрубленному масштабу времени, когда величина dt оказывается много больше периода колебаний, можно не рассматривать изменение кинетической и потенциальной энергии за период колебаний, а следить только за изменением усредненных по периоду колебаний величин. Так как диссипация энергии за период колебаний в рассматриваемом случае мала, то в течение одного периода ею можно пренебречь. В этом случае среднее значение кинетической энергии равно половине значения полной энергии осциллятора.
• 5. Второе слагаемое в правой части выражения (25) содержит малый параметр у/со₀, поэтому при рассмотрении средних значений за период колебаний этим слагаемым можно пренебречь. Для очень малых промежутков времени, когда cos (2co/) = 1, оба слагаемых в правой части (25) могут быть сравнимыми по величине.

К подразделу 2.4.

1. Учитывая вещественность величины x (t) и со, подвергнем комплексному сопряжению соотношение (2):

Совершая в этом соотношении замену со -> -со и сравнивая с (2), приходим к равенству (3).

• 2. Формула (10) тождественна выражению для 3(со), получаемому при вычислении интеграла в (9), как видно при учете соотношения (11). Однако формула (10) более удобна при выполнении предельных переходов (12) и (13).
• 3. После замены переменных (16) правая часть соотношения (15) превращается в произведение двух независимых интегралов. При этом интеграл по Тсоответствует интегральному представлению 5-функции от со, + со₂, а интеграл по т вследствие соотношения (8) равен S ((со, -о)2)/2), что, благодаря наличию множителя 5(со, +со₂), может быть записано как 3(со,).
• 4. Строгое получение соотношения (23) сводится к математическому исследованию законности замены порядка интегрирования в соотношении (20).
• 5. Для стационарного процесса справедливо

Поэтому.

Отсюда следует связь для спектральных плотностей:

где 3(со) — спектральная плотность корреляционной функции D (t). Приведенные формулы верны, если D (t) — дифференцируемая функция, а умножение 3(ш) на со² не нарушает ее интегрируемости.

Указанная в условии задачи модельная функция D (t) не имеет производной в точке / = 0. Если, однако, представить поведение реальной корреляционной функции таким образом, что при Y" ¹ —> 0 реальная функция все ближе подходит к модельной, то приближенно.

Это означает, что случайный процесс v (t) содержит в качестве компоненты белый шум yZ)(0)/rc.

В /-представлении соответственно имеем.

где 6(/) следует понимать как пик ширины 1/у, ограничивающей единичную площадь над осью /.

6. Проводимые в системе измерения определяют тот наименьший промежуток времени, который следует рассматривать как dt в дифференциальном уравнении движения, т. е. задают характерный масштаб времени, определяющий уровень сокращенного описания системы.

К подразделу 2.5.

• 1. Выражение (4) соответствует экспоненциальному затуханию со временем корреляционной функции /)(/), что является адекватным модельным представлением для броуновского движения.
• 2. Функция <�р (г), определяемая соотношением (9), неограниченно возрастает при больших mz- Действительно,

и множитель e^lmi обеспечивает экспоненциальный рост функции. При этом интеграл по контуру Г_{Л г} не обращается в нуль.

3. Физическая причина, по которой измеряемое значение квадрата скорости оказывается на 6 порядков меньше истинного равновесного значения, заключается в фактическом усреднении по промежутку времени т, скрывающему картину хаотического движения на временах, много меньших т.

К подразделу 2.6

1. В случае гамильтоновых систем выполнение дифференцирования во втором слагаемом в левой части (20) приводит к появлению слагаемых вида.

В силу канонических уравнений Гамильтона (4) первое из этих слагаемых образует скобку Пуассона [Я, р], определяемую соотношением (15), а второе слагаемое обращается в нуль:

В результате уравнение (20) сводится к уравнению (14).

• 2. Уравнение (20) выражает дифференциальный закон сохранения плотности вероятности в малой области около точки х изменение плотности вероятности определяется ее уходом или приходом в указанную область.
• 3. Уравнение (21) может быть переписано в указанном виде вследствие соотношения

и соотношения векторного анализа.

4. Соотношение (20) выражает интегральный закон сохранения полного числа состояний системы или ее фазового объема.

К подразделу 2.7

• 1. Наличие оператора, обратного оператору проектирования, означало бы возможность восстановления полного описания рассматриваемой системы на основе известного сокращенного описания.
• 2. Оператором проектирования будет, например, интегрирование л-частичной функции распределения по координатам и импульсам всех частиц, кроме одной. В результате будет возникать одночастичная функция распределения.
• 3. Самосопряженность оператора Лиувилля L, определяемого соотношением (2), доказывается так же, как самосопряженность оператора импульса р = -/Л (Э/Эх), заданного в координатном представлении.
• 4. Второе слагаемое в правой части уравнения (19) соответствует заданию начального условия для той части полного описания системы, которая исключается из рассмотрения в выбранном сокращенном описании.
• 5. Надлежащим выбором характерных масштабов времени можно заменить интегральное выражение с запаздыванием в уравнении баланса на совокупность дифференциальных уравнений без запаздывания. Такая замена соответствует, вообще говоря, определенной детализации описания системы. Конкретный пример будет приведен в решении задачи 4 подразд. 4.4.

К подразделу 2.8.

• 1. При интегрировании уравнения для Я-частичной функции распределения с целью получения уравнения для^{-частичной} функции следует учесть граничные условия, согласно которым функция распределения обращается в нуль на границе области определения, т. е. при бесконечных значениях импульсов и значениях координат, соответствующих пространственным границам системы.
• 2. При стремлении числа N системы к бесконечности следует одновременно неограниченно увеличивать объем^{системы,} так чтобы п = N/V оставалось постоянной величиной. Это необходимо для сохранения правильной зависимости экстенсивных термодинамических характеристик от размеров системы и числа частиц в ней.
• 3. Для получения уравнения (16) в случае, когда /₂ = / /, следует подставить в (12) явное выражение для Я с помощью соотношений (9) и (10) и учесть формулу для напряженности электрического поля Ё = -grad (p.
• 4. Входящий в уравнение (16) интеграл по г' и р представляет собой решение уравнения Пуассона для электростатического потенциала ср (г):

где произведение ер — плотность электрического заряда. При медленном измерении р со временем, когда можно пренебречь запаздыванием взаимодействия, это выражение сохраняет смысл и в неравновесном случае.

5. В случае многокомпонентной плазмы уравнение (17) записывается для функции распределения /|^(а) для каждого сорта частиц а. В уравнения (18) входят полная плотность заряда и полная плотность тока, создаваемые частицами плазмы всех сортов. Например,.

К подразделу 2.9.

1. При интегрировании уравнения (1) по v третье слагаемое в правой части даст нуль вследствие обращения функции /, в нуль при бесконечных значениях импульса. Оставшиеся два слагаемых уравнения (1) после выполнения интегрирования соответствуют уравнению непрерывности (6). Это означает, что первое из соотношений (2) справедливо. Домноженное на mv и на mv²/2, уравнение (1) будет соответствовать законам сохранения импульса и энергии, что определяет справедливость второго и третьего равенств (2).

2. Проводя интегрирование по частям в левой части равенства (9), следует учесть непосредственно проверяемое соотношение

и определение (4).

3. Из уравнения непрерывности (6) следует равенство а из определения (10) следует, что.

При учете этих соотношений и равенства (14) для и,

из (13) следует уравнение (15).

4. При интегрировании последнего слагаемого в левой части (5) по частям возникает член.

который равен нулю, что легко проверяется непосредственным вычислением.

• 5. Уравнение (17) получается из третьего из соотношений (3) в результате таких же преобразований, как и при получении уравнения (15).
• 6. Необратимость обусловлена диссипацией механической и электромагнитной энергии, поэтому обратимыми могут быть только процессы, происходящие в отсутствие теплообмена, т. е. адиабатические процессы.

К подразделу 2.10.

1. Дифференцируя уравнение (1) по времени, получим.

Дифференцируя второе из уравнений (3) по времени и учитывая уравнение (2), приходим к равенству.

Отсюда следует, что ЗЁ/dt может отличаться от 4тщеи только на константу. Поэтому, подставляя в первое соотношение выраженение для дЁ/dt:

приходим к уравнению (7).

• 2. Полагая в выражении (8) t = 0, приходим к первому из равенств (9). Дифференцируя (8) по времени и полагая t = 0, с учетом уравнения (2) получим второе из равенств (9).
• 3. В двухкомпонентной квазинейтральной плазме п$_е = % = п$. Для каждой компоненты плазмы (электронной и ионной) записывается система уравнений (1) и (2), а второе из уравнений (3) имеет вид

Совершая такие же преобразования, как и при получении уравнения (5), получаем два уравнения вида (5) для электронной (n_f) и ионной (я,) компонент плазмы. Вычитая почленно уравнение для /I, из уравнения для п_е, приходим к уравнению для п = п_е — л, :

откуда для квадрата плазменной частоты получаем выражение (13).

• 4. После подстановки выражения (23) в уравнение (22) следует представить скалярное произведение векторов к и Э/₀/Эу в системе координат, где ось z направлена вдоль вектора к.
• 5. Как следует из соотношения (27), затухание Ландау происходит при выполнении условия

которое эквивалентно равенству.

где 0 — угол между направлениями скорости движения частицы и фазовой скорости волны. Именно это условие соответствует излучению Вавилова —Черенкова, происходящего в условиях, когда скорость движения частицы превышает фазовую скорость световой волны в среде.

• 6. Волной Ван-Кампена называют пучок заряженных частиц вместе с незатухающей по Ландау электромагнитной волной, когда отсутствие затухания обусловлено именно надлежащим подбором пучка. При этом затухание Ландау возмущения в плазме представляет собой расфазировку различных незатухающих волн Ван-Кампена. Если столкновения частиц не приводят к истинному затуханию, что возможно при не слишком малых временах релаксации, то, сфазировав тем или иным образом незатухающие волны Ван-Кампена, можно обнаружить всплеск электромагнитного возмущения в плазме, в которой уже реализовалось затухание Ландау.
• 7. Характер сокращения описания свойств плазмы в гидродинамической модели по сравнению с кинетической моделью заключается, прежде всего, в меньшем числе физических характеристик, используемых для описания, и в более простом виде основных уравнений модели. Фактически в гидродинамической модели плазма рассматривается как сплошная среда, своего рода жидкость, однокомпонентная или многокомпонентная, без учета того обстоятельства, что в действительности плазма состоит из совокупностей заряженных и нейтральных частиц, совершающих хаотическое тепловое движение. При этом, разумеется, в гидродинамической модели оказываются утерянными все свойства реальной системы, определяемые тепловым движением частиц.
• 8. Наличие интеграла столкновений в правой части уравнения (17) приводит к тому, что вещественная величина со заменяется на некоторое комплексное значение:

где т — время релаксации, которое в простейшей модели непосредственно вводится для явного задания интеграла столкновений. Например, в приближении времени релаксации.

где f₀ — равновесная (или квазиравновесная) функция распределения.

9. Использование соотношения (27) приводит к тому, что дисперсионное уравнение.

определяющее закон дисперсии со = со (А:) электромагнитной волны в плазме, становится комплексным равенством. Далее в физике плазмы рассматривается начальная или граничная задача, позволяющая определить закон дисперсии волны и найти ее затухание (или нарастание, когда начальное состояние системы является неустойчивым).

10. Физические причины различия в полноте описания плазмы в кинетической и гидродинамической моделях заключаются в неучете целого ряда элементарных процессов с частицами плазмы в гидродинамической модели. Математические причины заключаются в разном виде основных уравнений модели и разном числе физических параметров, фигурирующих в математической модели рассматриваемых процессов.

К подразделу 2.11

• 1. С определенной степенью условности можно наметить следующие основные этапы построения физической и математической модели сложного явления: а) разбиение реального явления на несколько более простых, которые в принципе могут быть исследованы в рамках определенной области знания;
• б) выявление характерной иерархии временных масштабов, которые могут использоваться при сокращенном описании системы, учитывающем возможности реальных измерений;
• в) выбор определенного сокращенного описания системы на основе надлежащего набора физических величин;
• г) создание вербальной феноменологической модели явления в рамках выбранного сокращенного описания;
• д) перевод развитой физической модели на математический язык, т. е. создание математической модели;
• е) создание полной математической модели исходного сложного явления на основе моделей простых явлений, на которые оно было разбито;
• ж) исследование модели, вычислительный эксперимент, анализ результатов.

Фундаментальные законы сохранения могут служить как теоретической основой создаваемой модели, так и средством контроля адекватности модели реальному процессу и разумности получаемых результатов.

• 2. Иерархия временных масштабов, характерная для изучаемой системы, позволяет произвести надлежащий выбор языка описания системы на каждом уровне иерархии возможных моделей. Учет реальных возможностей измерений в системе дает возможность выбора адекватной модели из иерархической лестницы.
• 3. Существование памяти у системы определяет степень огрубления характерной временнбй шкалы при переходе к более сокращенному описанию. Здесь следует подчеркнуть, что получение редуцированного описания из более полного дает теоретическое описание и обоснование возможности такой процедуры, хотя на практике модели разного уровня часто строятся независимо друг от друга на основе анализа иерархии временных масштабов.
• 4. Характерный масштаб времени в модели сражения Ланкастера существенно превосходит длительность протекания всех различных конкретных процессов в ходе такого сражения. Такое же положение характерно и для логистической модели народонаселения, в которой промежуток времени dt в дифференциальном уравнении модели для численности популяции значительно превосходит длительность любых процессов с отдельным индивидуумом, включая и само время жизни индивидуума.
• 5. При построении интуитивных моделей в первой главе вопрос о реальной возможности измерений вообще никак не обсуждался. При этом молчаливо предполагалось, что имеется возможность экспериментального наблюдения и измерения фигурирующих в модели величин. По существу при построении этих моделей вводимые величины избирались таким образом, чтобы не возникало сомнений в возможности их экспериментального определения. Этот вопрос будет обсуждаться еше раз в четвертой главе при рассмотрении моделей иммунного ответа организма на вирусную инфекцию.
• 6. Характерные масштабы времени, фигурирующие в указанных моделях с запаздывающим аргументом, определяются временными интервалами для конкретных рассматриваемых биологических видов, характеризующими периоды времени между питанием и размножением, между рождением потомства и взрослением и т. д.
• 7. Причины появления парадоксов при исследовании математических моделей связаны с использованием этих моделей за границами области их применимости. Следует отметить, что не всегда эти границы могут быть установлены заранее. Появление парадоксов не обязательно указывает на необходимость модернизации модели в тех условиях, в которых парадокс возникает. В некоторых случаях, когда модель фактически описывает более широкий круг явлений, чем предполагалось при ее создании, появление парадокса указывает на необходимость более тщательного и детального исследования модели и анализа проводимых экспериментальных наблюдений.
• 8. В разобранном в тексте примере с плазменным эхо модель оказалась способной передать новый механизм взаимодействия «волна —частица», который не учитывался в явном виде и, строго говоря, был даже неизвестен к моменту создания модели самосогласованного поля для описания свойств плазмы.

В качестве еще одного примера ситуации, когда математическая модель явления содержит больше, чем в нее было заложено, являются явления гидравлического удара и гидравлического тарана, связанные с резким повышением давления в гидродинамической магистрали при перекрывании потока жидкости. Такое повышение давления связано с законом сохранения импульса и приводит к ряду наблюдаемых на опыте эффектов. Модель движения идеальной жидкости, основанная на уравнении непрерывности и уравнении Бернулли, оказалась пригодной для учета упругих волн деформации в жидкости, с помощью которых получают качественное объяснение и количественное описание эти эффекты, хотя возможность существования таких волн не закладывалась в модель в момент ее создания.

• 9. Ярким примером подобной ситуации является невозможность определения сил реакции опор для лежащей на трех опорах тяжелой балки, расположенной горизонтально, в случае использования модели абсолютно твердого тела. Моделью более высокого уровня, позволяющей разрешить проблему, здесь будет приближение, учитывающее упругие свойства материала балки.
• 1. Соотношение (1) получается с помощью условия нормировки функции Ферми—Дирака при нулевой температуре, которое имеет вид

Переходя к сферической системе координат в пространстве импульсов и вычисляя интеграл, приходим к соотношению (1), учитывая двукратное вырождение состояний по спиновой переменной.

• 2. Предположение об адиабатичности включения взаимодействия между частицами необходимо для обоснования принципиальной возможности сохранения классификации одночастичных состояний системы, т. е. набора квантовых чисел, характеризующих эти состояния.
• 3. Смысл х_е как времени жизни состояния, энергия которого может быть определена с неопределенностью х_еУ следует из соотношения неопределенностей «энергия —время». Неопределенность значения энергии Де в определенном состоянии должна быть много меньше соответствующего значения энергии е, иначе вообще бессмысленно говорить, что система находится в данном состоянии.
• 4. Уравнение (11) получается из условия максимального значения энтропии системы, определяемой соотношением (9), при сохранении полного числа частиц и энергии системы с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Составляя вариацию 5S с помощью (9) и учитывая (10), приходим к уравнению (11).
• 5. Соотношение (16) можно проще всего получить, используя соотношение квантовой статистической механики:

Тогда.

Используем для энергии системы Е низкотемпературное разложение.

где р (е) — плотность состояний в энергетическом представлении, а ро — уровень Ферми (химический потенциал при нулевой температуре). Вклад в теплоемкость дает только второе слагаемое в правой части выражения для Е. Учитывая обычную формулу для плотности состояний ферми-газа, приходим к соотношению (16).

6. Соотношение (21) представляет собой разложение соотношения (18) по полной системе матриц 2×2, которая состоит из единичной матрицы и спиновых матриц S (S_X, S_yl S_z).

• 7. Соотношения (22) и (23) появляются при сравнении выражения (20) для квазичастичной энергии с результатом разложения выражения (4) по полной системе матриц с учетом соотношения (19) и разложения (21) для корреляционной функции F.
• 8. Плотность состояний р (?/г) на уровне Ферми есть

• 9. Результат устанавливается сравнением размерностей левой и правой части соотношения (24).
• 10. Адиабатическое включение взаимодействия между частицами при переходе от модели газа к модели жидкости говорит только о принципиальной возможности сохранения классификации энергетических уровней. Априори ниоткуда не следует, что в результате этой процедуры должны возникнуть реальные собственные состояния системы взаимодействующих частиц. Например, в сверхпроводниках возникают новые состояния — куперовские пары, не имеющие аналога в газах невзаимодействующих частиц.

К подразделу 3.2.

• 1. Получение соотношений (10) и (11) основывается на использовании условий нормировки для сферических функций при вычислении интегралов, содержащих разложения по полиномам Лежандра и сферическим функциям, а также соотношения (9).
• 2. Система будет устойчивой, когда свободная энергия ферми-жидкости в основном состоянии обладает минимумом относительно малых деформаций ферми-поверхности. Наличие неустойчивости приводило бы к самопроизвольной деформации ферми-поверхности. Условие положительной определенности соответствующей квадратичной формы и дает ограничения на ферми-жидкостные параметры А_п и В_п. Граничное значение параметров, отвечающих началу неустойчивости, соответствует равенству (13).
• 3. Правая часть соотношения (16) по определению, принятому в статистической физике, соответствует плотности потока импульса системы. Левая часть этого соотношения представляет собой непосредственный подсчет плотности потока импульса как суммы импульсов, переносимых отдельными частицами системы.
• 4. Квазичастица представляет собой частицу системы вместе с возмущением окружающих ее частиц системы. Окружение двух частиц системы может перекрываться, поэтому свойство аддитивности масс квазичастиц при подсчете полной массы системы, вообще говоря, отсутствует.
• 5. Для получения формулы (24) следует подставить в (22) разложение функции /1(0) по полиномам Лежандра (1.24) и учесть, что cos0', входящий в правую часть (22), представляет собой /^(cos 0').
• 6. В рамках модели термодинамических переменных газ квазичастиц ферми-жидкости представляет собой систему, для которой приближенно справедливы представления, справедливые для идеальных систем. Поэтому для такой системы в первом приближении можно использовать уравнения, справедливые для идеальных систем, в условиях, когда рассмотрение проводится в рамках представлений о газе слабо взаимодействующих частиц, т. е. квазичастиц квантовой жидкости.
• 7. Химический потенциал р по определению представляет собой термодинамический потенциал системы G, приходящийся на одну частицу:

Поэтому в естественных переменных для термодинамического потенциала G химический потенциал может зависеть от давления р и температуры Т.

• 8. Вычисление интеграла в выражении (41) осуществляется с помощью соотношения (23) при учете того, что Р₀(cos0) = 1.
• 9. Получение этих соотношений обеспечивается аккуратной подстановкой указанных выражений в формулу для вычисляемой величины.
• 10. Соотношение (16) представляет собой общее выражение для плотности потока импульса, вычисляемого в рамках конкретных представлений о структуре рассматриваемой системы. При этом определяющим обстоятельством является равенство числа частиц и квазичастиц системы, независимо от того, насколько хорошо представление о квазичастицах отражает реальную картину спектра собственных состояний системы.
• 11. Аналогия заключается в учете состояний, расположенных вблизи уровня Ферми, формальным отражением чего является наличие 6-функции 6(?/- -е) в интегральных представлениях для соответствующих физических величин.
• 1. Параметры х_е и т имеют совершенно разный смысл и соответственно могут иметь совершенно различные численные значения. Как мы видели выше, т_е — это время формирования и жизни одночастичного состояния вблизи уровня Ферми. Параметр т характеризует время установления локального равновесия в системе и может на много порядков превышать величину х_е.
• 2. Условие (2) соответствует малости дебройлевской длины волны частицы по сравнению с характерным размером L системы, имеющим размерность длины, т. е. соответствует обычному условию применимости квазиклассического или даже классического приближения при теоретическом описании свойств системы. В вырожденной системе h/p_F является величиной порядка межатомного расстояния, поэтому условие (2) или (3) не накладывает ограничений на рассмотрение весьма широкого класса возмущений.
• 3. При достаточно плавных распределениях, для которых только и возможно используемое квазиклассическое описание, существующая функциональная зависимость в нейтральной ферми-жидкости может считаться локальной по пространственным переменным и времени. В этом случае связь между вариациями квазичастичной энергии и функции распределения сохраняет обычный вид, только бе и б/ зависят теперь от R и /.
• 4. Свойства линейных уравнений, когда сумма различных решений снова является решением уравнения, позволяют рассматривать отдельные компоненты разложения возмущения в интеграл Фурье. При этом величины к и ш в выражениях (9) и (10) являются независимыми параметрами, а закон дисперсии возмущения с**) получается в результате решения дисперсионного уравнения.
• 5. Возникновение полюса в интеграле, стоящем в правой части (23), при s < 1 требует выбора определенного правила обхода этого полюса. При использовании правила Ландау, соответствующего замене s —"s + /б, б —> +0, что физически означает равновесное состояние системы в бесконечно удаленном прошлом, затухание колебаний соответствует черенковскому поглощению энергии волны квазичастицами системы.
• 6. Условие сот «1, при выполнении которого возможно распространение нулевого звука, означает, что столкновения частиц при таких колебаниях не играют заметной роли. Поэтому локальное термодинамическое равновесие не успевает установиться. При этом можно пренебречь интегралом столкновений в кинетическом уравнении.
• 7. Если А (х) = А₀, то из уравнения (17) имеем

Подставляя это выражение в уравнение (17) при А (х) = Л_0у приходим к дисперсионному уравнению.

В этом приближении нулевой звук возможен при А₀ > 0.

При учете двух констант в разложении для А (х).

с помощью уравнения (17), положив v = /(0)е^/ф, имеем для колебаний при т = 1.

Подстановка этого выражения в уравнение (17) приводит к дисперсионному уравнению.

Это уравнение имеет один вещественный корень при А_{ > 2.

8. Локально-равновесное распределение /(/?, R, /) имеет такой же вид, как и равновесное распределение при энергии е (р, R, t):

В линейном по 5е приближении справедливо следующее соотношение:

Поэтому получаем.

• 9. При условии шт <�к 1 интегралом столкновений в кинетическом уравнении пренебрегать нельзя. Но именно интеграл столкновений обеспечивает релаксацию функции распределения квазичастиц к локально-равновесному значению. Именно такая ситуация соответствует распространению обычного звука, когда в системе успевает установиться локальное термодинамическое равновесие в каждом элементе объема жидкости, малом по сравнению с длиной волны.
• 10. В рамках построенной термодинамической модели вводить соответствующие бозевской ветви спектра квазичастиц поправки было бы неправильно. Эти поправки содержали бы более высокие степени температуры (например, Г³ в выражении для теплоемкости), чем отброшенные поправки в изложенной приближенной теории.

К подразделу 3.4.

• 1. Средняя потенциальная энергия взаимодействия электронов, приходящаяся на одну частицу, и в классическом, и в квантовом случаях пропорциональна Т³. Энергия свободного движения в классическом случае пропорциональна 0, в квантовом — h² п^2/*/т. Отношение потенциальной энергии к кинетической в классическом случае пропорционально w^V3, а в квантовом — обратно пропорционально л^,/3.
• 2. Радиус динамического экранирования кулоновского взаимодействия определяется тем расстоянием, которое заряженная частица может преодолеть за время порядка четверти периода плазменных колебаний, которые препятствуют пространственному разделению зарядов в плазме. В вырожденном газе электронов это расстояние пропорционально скорости частицы на уровне Ферми. Именно такие соображения приводят к соотношению (10) для радиуса экранирования.
• 3. После явного выделения дальнодействующего самосогласованного электрического поля остается взаимодействие квазинейтральных комплексов, линейные размеры которых определяются радиусом экранирования кулоновского взаимодействия. Последний оказывается величиной порядка среднего межэлектронного расстояния, или, что-то же самое, порядка дебройлевской длины волны электрона на уровне Ферми: (г) ~ X ~ 10″ ⁸ см. Поэтому для широкого круга явлений, в которых характерное расстояние существенно превышает (г), можно считать, что взаимодействие квазинейтральных комплексов является короткодействующим.
• 4. Нелокальная пространственная связь между 6е и 6п обусловлена дальнодействующим характером кулоновского потенциала. Однако благодаря огромной скорости распространения электромагнитного взаимодействия эта связь не приведет к эффектам запаздывания во взаимодействии нерелятивистских квазичастиц, поэтому связь во времени остается локальной. С точки зрения положений, лежащих в основе феноменологической модели ферми-жидкости, локальная во времени связь адекватно описывает взаимодействие квазичастиц электронной жидкости при условии, что характерное время изменения распределения квазичастиц много больше величины h/z_F, определяющей формирование электронных состояний, и много больше l/co^, где со^ — дебаевская частота фононов. Для реальных металлов h/s_F «10*¹⁶ — 10^-15 с, а 1/соя «КН⁴— 10-'³ с.
• 5. Общий вид соотношения (13) позволяет считать, что в нее включены все эффекты взаимодействия квазичастиц электронной жидкости. Выделение самосогласованного электрического поля, описываемого выражением (17) или первым слагаемым в правой части выражения (16), можно производить и после введения понятия квазичастиц благодаря тому, что число частиц (электронов) системы равно числу квазичастиц. Различие проявляется только в законе дисперсии, который не фигурирует в выражении (17).
• 6. Макроскопические заряд и ток в системе отсутствуют в равновесном состоянии. Поэтому выражение (30) следует непосредственно из смысла понятия функции распределения. Выражение (31) для плотности тока получается следующим образом:

7. Левая часть нелинеаризованного кинетического уравнения для /(/?, г, /) имеет стандартный вид. Указанная комбинация возникает при линеаризации входящих в него слагаемых. Например, при линеаризации слагаемого получаем.

Аналогично возникает и вторая указанная комбинация при линеаризации кинетического уравнения для векторной функции спиновой плотности.

8. Основной шаг при построении модели нормальной фермижидкости заключается в обосновании предположения о возможности введения понятия одночастичного состояния в системе сильно взаимодействующих частиц. Являясь принципиально неверным, это предположение оказывается с нужной степенью точности верным для состояний, лежащих вблизи уровня Ферми. Само введение этого понятия соответствует переходу к сокращенному описанию системы на языке одночастичных функций распределения. Огрубление временнбго масштаба, соответствующее такому переходу, неявно производится при записи выражения для вариации энергии квазичастицы. Все остальные шаги при построении модели соответствуют положениям статистической механики квантовых газов.

К подразделу 3.5.

1. Вычисляя интеграл по импульсным переменным в выражении (1), следует сделать замену переменных:

Бесконечные пределы интегрирования при такой замене нс изменятся, а значит, векторный потенциал А исключается из выражения для статистической суммы.

2. Варьируем выражение (2) по отношению к поворотам вектора т на угол 80 и подставляем в получившееся соотношение формулу (5). Вследствие возможности циклической перестановки векторов в смешанном произведении и независимости скалярного произведения от порядка сомножителей получаем выражение (6).

3. Переписав соотношение (9) в виде и учитывая свойства спиновых матриц.

приходим к соотношению (9) после вычисления Sp₀>.

• 4. Соотношение (8) получается после подстановки соотношения (7) в обычное соотношение, связывающее вариацию энергии квазичастицы с вариацией функции распределения, при использовании для корреляционной функции Ландау F выражения (4) и формулы (9), позволяющей вычислить след по спиновой переменной.
• 5. Соотношение (10) следует из сравнения выражений (6) и (8) для 6е в силу произвольности угла поворота 50 магнитного момента т.
• 6. В силу структуры выражения для вариации квазичастичной энергии корреляционная функция |/(/?, р) зависит только от угла X между векторами р и р'. Поэтому для нее справедливо разложение по полиномам Лежандра р. Все угловые зависимости магнитного момента р' выделены отдельно в выражениях (2) и (3) для квазичастичной энергии и функции распределения.
• 7. Условие (14) получается в результате вычисления интеграла в (13). Нулевой вклад при этом дает только слагаемое с п = 0, содержащее коэффициент 2?₀ в силу соотношения (23) подразд. 3.2 для полиномов Лежандра.
• 8. В рамках однозонной ферми-жидкостной модели магнитоупорядоченного металла иерархия временных масштабов выглядит в целом так же, как и у простого металла. Характерное время релаксации магнитного момента велико по сравнению с временами, определяющими формирование энергетического спектра квазичастиц в металле. Оно фигурирует в огрубленном временнбм масштабе, так что корреляционная функция Ландау оказывается локальной во времени именно в этом масштабе. В более сложных ферми-жидкостных моделях, учитывающих наличие нескольких энергетических зон и анизотропии, появляется больше характерных временных параметров, определяющих детали энергетического спектра в разных зонах, но в огрубленном временнбм масштабе сохраняется временная локальность корреляционной функции.

К подразделу 4.1.

1. Заданная зависимость (1) скорости крови в кровеносном сосуде позволяет записать следующее соотношение для скорости на оси сосуда радиусом R.

Сравнение размерностей левой и правой частей этого равенства дает х — 1, у = -1 и приводит к соотношению (5). Отметим, что вместо очевидной комбинации Др/1 можно было бы записать искомое выражение в виде.

что также привело бы к формуле (5).

• 2. Запись уравнения (9) в виде (10) более удобна, так как позволяет выделить в явном виде безразмерный параметр у, который в дальнейшем можно сделать феноменологическим параметром модели, не зависящим от конкретного смысла параметра Л/, определяющего относительный размер тромба.
• 3. Перепишем выражение для <�р (Л/), поделив числитель и знаменатель в (11) на функцию, стоящую в числителе:

Видно, что ср (Л/> имеет ту же структуру, что и формула Планка, только от экспоненты, стоящей в знаменателе, отнимается не единица, а уМ. Это отличие обусловлено разными пределами, к которым должна стремиться правая часть формулы Планка и функция ср (Л/) при е -" 0.

• 4. Выражение (12) представляет собой модельное феноменологическое соотношение для скорости кровотока в сосуде, составленное таким образом, чтобы удовлетворять предельному случаю, описываемому твердо установленным законом физики (уравнение непрерывности), и экспериментально установленным зависимостям в случае тромба больших размеров, когда уравнение непрерывности не выполняется вследствие изменений условий движения крови, определяемых биологическими механизмами живого организма.
• 5. Простейшая модель может быть сформулирована следующим образом. Сосуд рассматривается как цилиндр радиуса R и выбирается закон изменения скорости кровотока как функция расстояния до стенки сосуда. Тромбоциты могут принимать участие в строительстве тромба только в том случае, если время прохождения ими поврежденного участка стенки сосуда больше времени активации. Концентрация АДФ, вызывающей эту активацию, уменьшается по направлению к центру сосуда, что приводит к увеличению времени активации. Можно предположить такую зависимость времени активации от расстояния jc до поврежденного участка стенки:

где t_A — время активации в пристеночной области. Нетрудно получить аналитические выражения для скорости роста тромба для ряда целочисленных значений п. Полученные выражения обнаруживают сходное в целом поведение с ростом скорости крови, различаясь лишь в кривизне ниспадающих участков.

• 6. Общая картина скорости роста тромба как функции скорости кровотока оказалась устойчивой относительно деталей зависимости времени активации тромбоцитов от расстояния до пораженной стенки. В этом смысле математическая модель оказалась мягкой, структурно устойчивой. Стохастический характер процесса построения тромба в сочетании с указанным свойством модели позволяет предполагать структурную устойчивость модели относительно деталей зависимости dM/dt от скорости крови.
• 7. Развитая модель позволяет описывать только макроскопическую картину роста тромба, отвлекаясь от всех деталей биологического процесса активации тромбоцитов и пренебрегая стохастическим характером процесса строительства тромба активированными тромбоцитами. Поэтому характерное время dt в огрубленном временном масштабе должно значительно превосходить все характерные времена (время активации t_A, время возможной задержки активированного тромбоцита вблизи строящегося тромба и т. д.), которые фигурировали бы при детальном рассмотрении всех происходящих процессов на микроскопическом уровне.

К подразделу 4.2.

1. Запишем выражение для ср (Л/) в виде.

Вычисляя производную Фд/(Л/) и требуя ее положительность при М =0, приходим к условию (1).

По смыслу параметра М область его значений есть 0 < М <1, поэтому условие положительности ф (Л/) записывается в виде.

откуда и следует условие (2).

• 2. Приравняв нулю производную ф^/_Л/(Л/), приходим к соотношению (5), после чего вычисляем ф (Л/,), получая соотношение (4).
• 3. Приравняв нулю производную функции ф (Л/), определяемую соотношением (17) из подразд. 4.1, приходим к условиям (7) И (8).
• 4. Если параметр (3 удовлетворяет условию (9), то уравнение (8) не имеет вещественных решений и функция ф (Л/) имеет только один экстремум, определяемый условием (7). При выполнении условия (10) уравнение (8) имеет два вещественных решения, что приводит к наличию трех экстремумов у функции ф (Л/), включая экстремум, определяемый условием (7). Наконец при (3 > 1 уравнение (8) имеет одно вещественное решение. При этом функция ф (Л/) имеет два экстремума, определяемые условием обрашения в нуль ее производной, и один экстремум на границе области определения функции (Л/= 0), где производная не равна нулю.
• 5. Параметр р входит в показатель экспоненты в определении функции ц/(Л/), задающей скорость роста тромба, и поэтому его значение в сильной степени влияет на картину роста тромба. Значение параметра Р зависит от того, где находится значение скорости кровотока на графике зависимости скорости роста тромба от скорости тока: на возрастающей или ниспадающей частях графика. Это обстоятельство задает «физическую» причину различия процесса тромбообразования в этих случаях.
• 6. Среди возможных направлений дальнейшего развития изложенной простейшей модели лазер-индуцированного тромбообразования в кровеносных микрососудах живых организмов следует отмстить: а) учет тепловых эффектов при попадании лазерного излучения на стенку сосуда; б) описание микроскопического процесса активации тромбоцитов в крови; в) описание кинетики процесса построения тромба у пораженного участка стенки сосуда;
• г) выбор более точной аппроксимации для скорости роста тромба путем привязки ее к конкретному графику зависимости этой скорости от скорости кровотока; д) последовательный учет неньютоновского характера жидкости, моделирующей свойства крови. Следует отметить, что развитие модели даже в одном из указанных направлений приводит к резкому увеличению числа вводимых феноменологических параметров.
• 7. Иерархия временных масштабов выстраивается при оценке характерных времен протекания процессов, указанных в предыдущей задаче. В настоящее время в ряде случаев такая оценка затруднительна.

К подразделу 4.3.

I. Давление р является функцией V и q, т. е.

Поэтому вариация Ар в любой момент времени связана со значениями АК и Aq соотношением.

Для определения Aq в произвольный момент времени проинтегрируем уравнение (4). Получим:

Значение постоянной С определяется из начального условия q (t)|_/-0 = Я- В результате находим.

Отсюда вытекает, что.

Подставляя это соотношение в выражении для Ар, приходим к выражению.

• 2. Формула (8) передает поведение кривой на рис. 4.10 при р> р₀. Значение Lq соответствует горизонтальной асимптоте графика при р —> оо; значение р = р₀ соответствует вертикальной асимптоте.
• 3. Поток j₀, связанный с растворенными веществами, зависит от концентрации ионов (Na⁺, К⁺, С1' и т. д.), однако количественных данных, позволяющих строго учесть этот эффект, нет. Поэтому используется простейшее возможное приближение, которое, как выясняется, оказывается достаточным для проведения качественного анализа роли этого потока в формировании режима пульсаций при развитии гидроидов.
• 4. Вычислим производную dq/dvy используя неявное дифференцирование выражения

Имеем.

Видно, что условие (17) эквивалентно равенству.

Дифференцируя выражение для L по v, имеем.

Заменяя в этом соотношении разность (лp-kv) в соответствии с выражением для L на — jo/L_p(p), приходим к соотношению (18).

5. Дифференцируя выражение (8), получаем.

Подставляя это выражение в соотношение (18) и используя приближение постоянства производной dp/dV = 5 и формулу (8) для L_p, приходим после элементарных преобразований к уравнению (19).

• 6. Исследование поведения изоклин основывается на общих правилах построения фазовых траекторий.
• 7. Линеаризация уравнения (15) не вызывает особых затруднений:

При варьировании уравнения (14) необходимо учесть следующие соотношения:

Величину —- удобно ввести вследствие отрицательности про- dp

dL_p

изводнои —при всех значениях р. dp

8. Ищем решение системы уравнений (22) —(23) в виде.

Подставляя это решение в систему уравнений, приходим к однородной алгебраической системе уравнений:

Нетривиальные решения этой системы (а * О, b ф 0) существуют при равенстве нулю определителя системы:

Раскрывая этот определитель, приходим к квадратному уравнению, корнями которого являются Л| ₂, даваемые формулами.

(26) —(27).

К подразделу 4.4.

• 1 — 2. При затруднении с ответом ознакомьтесь с решением задачи 3.
• 3. Уравнение (4) учитывает ослабление жизнедеятельности организма в ходе заболевания, связанное с уменьшением активности органов, обеспечивающих поставку иммунологического материала (лейкоцитов, лимфоцитов, антител и т. д.), необходимого для борьбы с размножающимися антигенами. Можно принять гипотезу о том, что производительность таких органов связана с размерами поражения органа. Пусть Л/— характеристика здорового органа (масса или площадь), а М — соответствующая характеристика здоровой части пораженного органа. Вводим по определению величину т:

Эта относительная характеристика поражения органа равна нулю в здоровом организме и равна единице в случае полностью пораженного органа. Первое слагаемое в правой части уравнения (4) соответствует предположению, что увеличение относительной величины пораженного органа за время dt пропорционально количеству вирусов, а второе слагаемое описывает восстановительную деятельность организма, причем коэффициент ц_т определяет обратную величину периода восстановления органа в е раз.

4. Запаздывание в правой части уравнения (2) обусловлено тем, что плазматические клетки начинают производить антитела /'после прохождения нескольких стадий деления, на что затрачивается время т. Но можно явно рассмотреть процесс прохождения клетками различных стадий. Пусть С^(/) — численность популяции клеток на /-й стадии (/ = 1, 2, …, к; к ~ 10). Тогда процесс образования плазматических клеток можно описать следующей системой уравнений:

Уравнение (2) и полученная система уравнений без запаздывания соответствует двум разным способам моделирования одного и того же явления.

5 — 7. Для ответа на вопросы в этих задачах полезно ознакомиться со специальной медицинской литературой.

К подразделу 4.5.

• 1. Любая детализация происходящих процессов в модели более высокого уровня по сравнению с более простой моделью соответствует использованию более тонкого временного масштаба.
• 2. Ответ на вопрос содержится в тексте данного подраздела.
• 3. Наличие двух сигналов для стимуляции клеток—киллеров аналогично тройным столкновениям в модели реального газа, однако здесь возможен определенный сдвиг во времени между моментами прихода сигналов.
• 4. Ответ на вопрос содержится в тексте данного подраздела.

К подразделу 4.6.

• 1. Эти рассуждения полностью повторяют приведенные в тексте рассуждения с одновременной заменой интервала [0, х] на [х, 2т].
• 2. Для нахождения стационарных решений системы (1) —(4) следует приравнять нулю все производные по времени. Тогда получим систему уравнений:

В силу независимости величин V и F от времени положено V (t — т) = V = const, F (t — т) = F = const. Нетрудно проверить, что при ?(m) = 1 полученная система допускает решения типа (7) и (8).

3. Общее решение однородного уравнения.

имеет вид Частное решение неоднородного уравнения (14) имеет вид.

Из требования, чтобы сумма общего и частного решений обращалась в нуль при t = 0, следует выражение (15).

• 4. Характер и условия показанных на рис. 4.13 и 4.14 процессов устанавливается на основе качественных соображений, аналогичных приведенным в тексте.
• 5. Благодаря наличию 0-функции в правой части уравнения (24) производная температуры по времени отлична от нуля и положительна только при условии, что концентрация VF-комплексов превышает допустимое значение, при котором еще не начинается повышение температуры.

• [1] а) Цикл с периодом 2. б) Орбита стремится к бесконечности. в) Орбита фиксирована начиная с некоторого п.