Игры с неполной информацией

Изучив материал данной главы, студенты должны: знать

• • байесовскую игру;
• • равновесие Байеса — Нэша;
• • разделяющее равновесие;
• • модель Штакельберга при асимметричной информации;
• • аукционы первой и второй цены; уметь
• • составлять и решать задачи на равновесие Байеса — Нэша;
• • создавать модели ситуаций с неполной информацией; владеть
• • навыками определения равновесий в играх с неполной информацией.

Введение

в байесовские игры

В этой главе мы познакомимся с играми с неполной информацией, или байесовскими играми.

Напомним, что в играх с полной информацией игрокам известны платежные функции — как свои собственные, так и функции всех остальных игроков. В играх с неполной информацией, напротив, но крайней мере у одного из игроков остается некоторая неопределенность о платежной функции какого-либо из игроков.

Под «некоторой неопределенностью» мы будем понимать нс полное отсутствие информации о платежной функции, а вероятностное распределение на множестве значений платежей какого-либо из игроков. Например, в игре двух игроков при некотором профиле стратегий игрок А не знает точно, каковы будут выигрыши игрока В. Он лишь знает, что игрок В получит 10 руб. с вероятностью 0,9 и 100 руб. с вероятностью 0,1.

Определение 5.1. Игры с неполной информацией также называются байесовскими играми, а равновесие Нэша в таких играх называется байесовским равновесием или равновесием Байеса — Нэша.

В качестве примера игры с неполной информацией рассмотрим продажу некоторого товара, например некоторой картины, на аукционе. Каждый из потенциальных покупателей знает свою собственную оценку выставляемой на продажу картины, но не знает оценки остальных покупателей.

Каждый из покупателей записывает свою цену, которую он готов заплатить за картину, запечатывает свое предложение в конверт и передает конверт ведущему. Таким образом, можно считать, что покупатели одновременно предлагают свои цены.

Рассмотрим модель дуополии Курно с обратной функцией спроса P (Q) = a-Q, где Q = q+(]2 ~ суммарный рыночный спрос на товар^[1]. Информация в модели асимметрична: вторая фирма знает как свои собственные издержки, гак и издержки первой фирмы. Первая фирма знает свои собственные издержки, однако нс знает точно издержки второй фирмы. Ей известно лишь, что предельные издержки второй фирмы составят с_н с вероятностью 0 и с_{ с вероятностью 1−0 (c_LH) (вторая фирма может быть новичком на рынке или может внедрить новую технологию). При этом первая фирма знает, что вторая фирма обладает избытком информации, и вторая фирма знает, что первая фирма знает об этом, и т. д.

Пусть q — оптимальный выбор первой фирмы, ся)> Чг (^cl) ^— оптимальный выбор второй фирмы (как функции от издержек).

При высоких предельных издержках Сц вторая фирма решает задачу максимизации прибыли:

Аналогично при низких предельных издержках вторая фирма решает задачу

Первая фирма знает, что издержки второй фирмы составят с_н с вероятностью 0 и, следовательно, ее выпуск равен q*₂(c_H). Аналогично с вероятностью 1−0 выпуск второй фирмы равен q₂(c_L) —

Таким образом, первая фирма решает задачу максимизации своей ожидаемой средней прибыли:

Условия первого порядка для данной системы дают.

Решениями полученной системы уравнений являются

Сравним #2(^ся)> Я2(^cl) ^и Яу ^с аналогичными величинами, полученными.

а — 2с, + С:

для модели Курно с полной информацией: q* =—-i, je{, 2}, i* j.

Оказывается, что ^(^ся) превышает ——^^{C// + с}, a q*2(c_L) меньше, чем a-2c_L+c. ,.

• —-. Ото объясняется тем, что вторая фирма не только связывает свои
• 3

выбор q2 со своими издержками, но также реагирует на тот факт, что первая фирма не может это сделать. Например, если издержки второй фирмы высоки, то, с одной стороны, она поэтому производит меньше, но, с другой стороны, производит больше, поскольку знает, что первая фирма будет производить количество товара, максимизирующее ее прибыль, и, таким образом, меньше, чем первая фирма, производила бы при условии ее информированности о высоких издержках второй фирмы.

• [1] Gibbons R. Game theory for applied economists. Princeton University Press, 1992.