Поток векторного поля

Рассмотрим постоянное векторное поле и некоторую плоскую площадку S.

Вектор нормали к площадке обозначим п. Введем вектор, т. е. будем рассматривать площадь как вектор.

Определение 1. Потоком постоянного вектора F через площадку S называется величина.

.

Нетрудно показать, что если в качестве вектора F выбрать скорость движения жидкости, то поток определяет количество жидкости, протекающей через площадку S за единицу времени.

Обобщим понятие потока. Пусть задано произвольное векторное поле и некоторая поверхность S. Разобьем поверхность на малые элементы и составим сумму.

.

Эта величина является интегральной суммой для функции по поверхности S. Предел этой интегральной суммы называют поверхностным интегралом второго рода.

.

Определение 2. Потоком вектора F через поверхность S называется величина.

.

Если функция F задает поле скоростей, то поток определяет количество жидкости, протекающей через заданную поверхность в единицу времени.

Часто требуется определить поток вектора через замкнутую поверхность. Интегралы по замкнутой поверхности обычно записывают в виде.

.

Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве. Около некоторой точки М опишем замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V.

Теорема 1. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то существует предел.

.

Упрощенное доказательство этой теоремы приведено ниже.

Отметим, что этот предел не зависит от способа стягивания области V в точку М, а зависит только от положения точки.

Определение 3. Дивергенцией векторного поля называется величина.

.

Дивергенция означает расходимость. Это определение дивергенции отличается от того, которое мы давали в первой главе, и является более общим. Здесь, в частности, ничего не говорится о выборе системы координат, т. е. это определение справедливо в любой системе координат.

Теорема 2. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то в декартовой прямоугольной системе координат дивергенция этой функции определяется формулой.

.

Доказательство. В качестве элемента объема выберем прямоугольный параллелепипед со сторонами длиной, направленными параллельно координатным осям.

Рассмотрим поток вектора F через грани, перпендикулярные оси z. Вектор для верхней площадки имеет вид, для нижней -. Суммарный поток через верхнюю и нижнюю площадки определяется выражением.

.

Аналогично получим.

.

.

Подставим эти значения в формулу для дивергенции.

.

Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что оба определения дивергенции эквивалентны. Приведенное доказательство можно рассматривать как упрощенное доказательство теоремы 1.