Уравнение диффузии. 
Теория вероятностей и математическая статистика. 
Математические модели

Существование процессов переноса вещества и энергии является необходимым условием того, что система функционирует в пространстве как единое целое. Перемещение молекул вещества под действием случайных сил — диффузия — имеет место в любом веществе — газе, жидкости, твердом теле. Неоднородная смесь веществ в замкнутом объеме будет со временем благодаря диффузии однородной —? вещества перемещаются, и концентрация каждого из них во всем объеме станет одинаковой. В такой системе установится так называемое однородное (гомогенное) стационарное состояние. Время установления стационарного состояния, естественно, определяется свойствами вещества, в основном подвижностью его молекул.

В активных кинетических средах, которыми являются биологические системы, кроме процессов диффузии, происходят также взаимодействия между компонентами, описываемые, как правило, нелинейными функциями. Эти нелинейные процессы могут приводить к установлению различных концентраций взаимодействующих компонентов в разных точках пространства, препятствуя таким образом вызванному диффузией выравниванию концентраций. Противоборство этих двух процессов — взаимодействия компонентов в каждой отдельной точке пространства и диффузии — определяет поведение распределенной системы.

Рассмотрение процессов, происходящих в распределенной системе, начнем с простейшего случая — с изучения процесса диффузии в одномерном реакторе — трубке, заполненной раствором некоторого вещества, предполагая, что во всякий момент времени концентрация раствора по сечению трубки одинакова. Тогда процесс диффузии может быть описан функцией C (r, t), представляющей концентрацию вещества в сечении с координатой г в момент времени t.

Опыт показывает, что диффузионный поток какого-либо компонента, т. е. масса диффундирующего компонента, проходящая в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной направлению диффузии, пропорционален градиенту концентрации этого компонента, взятому с обратным знаком (закон Фика):

где I — диффузионный поток интересующего нас компонента в направлении оси г. Знак «минус» в правой части (6.2) показывает, что диффузионный поток направлен в сторону убывания концентрации. Коэффициент D в уравнении (6.2) называется коэффициентом диффузии, он численно равен диффузионному потоку при градиенте концентраций, равном 1, и зависит от свойств диффундирующего вещества и свойств остальных компонентов, составляющих смесь. При не слишком больших концентрациях веществ D мало зависит от концентрации самого вещества и определяется степенью подвижности молекул.

Пусть поперечное сечение трубки S. Выделим в ней элементарный объем AV_r с координатами границ г и г + Дг, тогда Д V). = SAr. Не нарушая общности, предположим, что диффузия протекает в направлении оси г.

Масса ДМ_Г вещества, втекающего за время от t до t 4- At в рассматриваемый объем через границу г, согласно закону Фика, равна:

Через другую границу с координатой г + Дг из выделенного объема вытекает вещество массой ДМ_г+д_г:

Общее изменение массы ДМ в объеме AV составляет.

или.

Запишем уравнение для изменения концентрации:

Перейдем к пределу при Дг —? 0 и получим.

Разделив левую и правую части этого выражения на At и перейдя к пределу при At —> 0, получим уравнение диффузии в дифференциальной форме:

В случае когда коэффициент диффузии D постоянен, имеем.

или в другой форме записи Ct = DC_rr.

В случае когда диффузия происходит в трехмерном пространстве, причем имеет место изотропная диффузия, т. е. перемещение частиц вещества равновероятно по всем направлениям, уравнение (6.3) примет вид.

Здесь Д — оператор Лапласа.

Если в среде диффундируют п веществ с концентрациями С, (г = 1, …, п), процесс описывается системой п уравнений:

где D{ — коэффициент диффузии i-го вещества.

Вообще говоря, коэффициент диффузии определяется не только свойствами самого диффундирующего вещества, но и свойствами остальных компонентов системы. Тогда вместо коэффициента самодиффузии Di следует пользоваться коэффициентом взаимной диффузии (кросс-диффузии).

Уравнения (6.3), (6.4) описывают изменение во времени и в пространстве концентраций веществ, когда в системе происходит единственный процесс — диффузия. Однако специфика химических и биологических систем определяется тем, что кроме диффузии в них протекают и другие процессы. Это приводит к возникновению новых членов в правых частях уравнений типа (6.3), (6.4), описывающих изменения концентраций С* во времени. Например, в случае одного вещества в одномерном реакторе кроме диффузии возможно наличие в некоторых местах трубки источников или стоков этого вещества, с учетом которых уравнение (6.3) примет вид.

где F — функция источника.

Бели, кроме того, имеется диффузия вещества через стенки трубки, то в правой части уравнения появятся также члены, пропорциональные концентрации:

В многокомпонентных системах возможны разнообразные взаимопревращения компонентов, например химические превращения веществ в ходе реакций. Пусть скорость изменения концентрации С{ за счет химической реакции описывается функцией fi = fi (Cy, С2, …, С_П), вид которой определяется механизмом реакции. В общем случае функция /* зависит как от концентраций реагирующих веществ, так и явно от пространственной координаты г и времени t. В дальнейшем, как и в случае точечных систем, будем считать, что вид функции /* не зависит явно от времени и координаты пространства.

С учетом химических превращений, происходящих в каждой точке системы, уравнения (6.4) следует переписать в виде:

В случае одномерного реактора:

Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнениям добавить некоторые дополнительные условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо задать начальные значения переменных в момент времени t = to- В случае распределенных систем этого недостаточно.