Геометрическая интерпретация игры 2x2

Решение игры 2×2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть игра задана платежной матрицей Р = dy, i, j =1,2. По оси абсцисс (рис. 12.1) отложим единичный отрезок Л точка Л ((х = 0) изображает стратегию Л, а все промежуточные точки этого отрезка — смешанные стратегии 5, первого игрока, причем расстояние от 5Д до правого конца отрезка — это вероятность р{ стратегии Л!, расстояние до левого конца — вероятность р2 стратегии Л.,. На перпендикулярных осях I-I и II-II откладываем выигрыши при стратегиях Л1 и Л2 соответственно. Если 2-й.

Рис. 12.1.

Рис. 12.2.

игрок примет стратегию Bv то она дает выигрыши аи и я21, на осях I-I и II-II, соответствующие стратегиям Л, и Ат Обозначим эти точки на осях I-I и II-II буквой ?? Средний выигрыш D, соответствующий смешанной стратегии SA, определяется по формуле математического ожидания ?, =апр{ +а2[р2 и равен ординате точки М, которая лежит на отрезке ???{ и имеет абсциссу SA (см. рис. 12.1).

Аналогично строим отрезок ?.?? соответствующий применению вторым игроком стратегии В2 (рис. 12.2). При этом средний выигрыш ?2 = а{2рх +а22р2 — ордината точки М9.

В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия S такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 12.3),.

Рис. 12.3.

показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке ?,?? - против стратегии Bv на участке ??2 - против стратегии В2). Оптимальную стратегию 5* =(р*, р*) определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума; ее ордината равна цене игры ?. На рис 12.3 обозначены также верхняя и нижняя цены игры а и ?.

Применим геометрический метод для решения следующей задачи.

12.4. Решить графически игру, заданную платежной матрицей.

Решение. Откладываем по оси абсцисс (рис. 12.4) единичный отрезок AtAr На вертикальной оси I-I откладываем отрезки: аи = 1,5 соответствующий стратегии Bv и аУ1 =3, соответствующий стратегии В2. На вертикальной оси II-II отрезок й21 = 2 соответствует стратегии ?? отрезок а22 = 1 — стратегии В.2 (рис. 12.4). Нижняя цена игра а = аи =1,5. Верхняя цепа игры? = а, j = 2, седловая точка отсутствует. Из рис. 12.4 очевидно, что абсцисса точки N определяет оптимальную стратегию 5*j, а ордината — цену игры ?. Точка N является точкой пересечения прямых ?,?, и В.2ВТ Уравнение прямой ?,?, проходящей через точки (0; 1,5) и (1; 2):

Рис. 12.4.

Уравнение прямой В2В2, проходящей через точки (0; 3).

И (1; 1):

или

Точка пересечения прямых является решением системы уравнений:

или X = 0,6; у = 1,8, т. е. Лг (0,6; 1,8).

Таким образом, pj=0,6, р2 =1−0,6 = 0,4; оптимальная стратегия S*A = (0,6; 0,4), цена игры? = 1,8.

Геометрически можно также определить оптимальную стратегию игрока В, если поменять местами игроков А и В и вместо максимума нижней границы А2МА{ в соответствии с принципом минимакса (рис. 12.5) рассмотреть минимум верхней границы.

Абсцисса точки М определяет q2 в оптимальной стратегии игрока В, ордината этой точки — цена игры. Прямая AAV проходящая через точки (0; 1,5) и (1; 3), удовлетворяет уравнению.

Прямая ?./?? проходящая через точки (0; 2) и (1; 1), удовлетворяет уравнению у = -х + 2.

Рис. 12.5.

Координаты их точки пересечения М — это решение системы уравнений:

откуда

Оптимальное решение игры найдено. >

Из решения задачи 12.4 следует, что геометрически можно определять оптимальную стратегию как игрока А, так и игрока В; в обоих случаях используется принцип минимакса, но во втором случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум. Если платежная матрица содержит отрицательные числа, то для графического решения задачи лучше перейти к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число. Решение игры при этом не изменится, а цена игры увеличится на это число. В задаче 12.4 платежная матрица не имела седловой точки («?3). При наличии седловой точки графическое решение дают варианты, изображенные на рис. 12.6 и 12.7. На рис. 12.6 наибольшей ординатой на ломаной ????2 обладает точка В.» поэтому оптимальной является чистая стратегия А., для игрока А (В., — для игрока В), т. е. оптимальное решение Игра имеет седловую точку а22 = ?.

Рис. 12.6.

Рис. 12.7.

Чистая стратегия В2 (см. рис. 12.7) невыгодна для игрока В, поскольку при любой стратегии игрока А она дает последнему больший выигрыш, чем чистая стратегия Bv На основании принципа минимакса выделим прямую B^B^ и на ней точку В, с наибольшей ординатой на оси I-I. Чистая стратегия Аг является оптимальной для игрока А, а чистая стратегия В, — для игрока В. Оптимальное решение цена игры? = ?21 =? = ?, т. е. имеется седловая точка.

Графический метод можно применять при решении игры 2 X п и т X 2.