Мода и медиана. 
Квантили. 
Моменты случайных величин. 
Асимметрия и эксцесс

Кроме математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные черты распределения.

Определение. Модой Мо (Х) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность р_г или плотность вероятности <�р (х) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 3.13).

Рис. 3.13.

Рис. 3.14.

Мода Мо (Х), при которой вероятность р_{ или плотность вероятности (р (х) достигает глобального максимума, называется наивероятнейшим значением случайной величины (на рис. 3.13 это Мо (Х)₂).

Определение. Медианой Ме (Х) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого

т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее медианы Ме (Х) или большее ее, одна и та же и равна ½. Геометрически вертикальная прямая х = Ме (Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме (Х), делит площадь фигуры иод кривой распределения на две равные части (рис. 3.14). Очевидно, что в точке х = Ме (Х) функция распределения равна ½, т. е. Р (Ме (Х)) = ½ (рис. 3.15).

Рис. 3.15.

Рис. 3.16.

Отметим важное свойство медианы случайной величины: математическое ожидание абсолютной величины отклонения случайной величины X от постоянной величины С минимально тогда, когда эта постоянная С равна медиане Ме (Х) = т, т. е.

(свойство аналогично свойству (3.10') минимальности среднего квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания).

О Пример 3.15. Найти моду, медиану и математическое ожидание случайной величины X с плотностью вероятности ф (х) = 3х² при хе[0;1].

Решение. Кривая распределения представлена на рис. 3.16. Очевидно, что плотность вероятности ф (х) максимальна при х = Мо (Х) = 1.

Медиану Ме (Х) = Ь найдем из условия (3.28):

или

откуда

Математическое ожидание вычислим по формуле (3.25):

Взаимное расположение точек М (Х)> Ме (Х) и Мо (Х) в порядке возрастания абсцисс показано на рис. 3.16. ?

Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.

Определение. Квантилем уровня <7 (или у-квантилем)

называется такое значение х_ц случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное д, т. е.

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т. е. Ме (Х) = х₀₅. Квантили дг_{0 2}5 и х₀₇₅ получили название соответственно нижнего и верхнего квартилейК

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ЮОуХо-ной точкой подразумевается квантиль х_{х ({}, т. е. такое значение случайной величины X, при котором

0 Пример 3.16. По данным примера 3.15 найти квантиль х₀₃ и 30%-ную точку случайной величины X.

Решение. По формуле (3.23) функция распределения.

Квантиль .г₀з найдем из уравнения (3.29), т. е. х$₃ =0,3, откуда Л’оз -0,67. Найдем 30%-ную точку случайной величины X, или квантиль х_{0 7}, из уравнения х$₇ = 0,7, откуда х_{0 7}«0,89. ?

Среди числовых характеристик случайной величины особое значение имеют м о м е н т ы — начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом к-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени этой величины:

Определение. Центральным моментом к-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

или

Формулы для вычисления моментов для дискретных случайных величин (принимающих значения х₁ с вероятностями р,) и непрерывных (с плотностью вероятности ср (х)) приведены в табл. 3.1.^[1]

Таблица 3.1.

Момент	Случайная величина
	дискретная	непрерывная
Начальный.
Центральный.

Нетрудно заметить, что при к = 1 первый начальный момент случайной величины X есть ее математическое ожидание, т. е. ч_х = М[Х) = а , при к = 2 второй центральный момент — дисперсия, т. е. р₂ = Т)(Х).

Центральные моменты р_А могут быть выражены через начальные моменты, но формулам:

и т.д.

? Например, ц₃ = М (Х-а)* = М (Х*-ЗаХ²+За²Х-а->) = М (Х*)~ -ЗаМ{Х²)+За²М (Х)~ а³ = у₃ -Зу^ + Зу (у, -у^ = у₃— Зу^ + 2у^ (при выводе учли, что а = М (Х) = V, — неслучайная величина). ?

Выше отмечено, что математическое ожидание М (Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение или положение, центр распределения случайной величины X на числовой оси; дисперсия О (Х), или второй центральный момент р₂, — с т с — пень рассеяния распределения X относительно М (Х). Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент р₃ служит для характеристики, а с и м — м е т р и и (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на о³, где, а — среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии Л = 0.

На рис. 3.17 показаны две кривые распределения: I и II. Кривая I имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (Л > 0), а кривая II — отрицательную (левостороннюю) (Л < 0).

Рис. 3.17.

РИС. 3.18.

Четвертый центральный момент р₄ служит для характеристики к р у — тост и (о с т р о в е р ш и н н о с т и или п л о с к о в е р ш и н — пости) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

Число 3 вычитается из отношения р₄/а⁴ потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения (о нем идет речь в гл. 4) отношение р₄/а⁴ = 3. Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом (рис. 3.18).

[> Пример 3.17. Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины, распределенной по так называемому закону Лапласа с плотностью вероятности

Решение. Так как распределение случайной величины X симметрично относительно оси ординат, то все нечетные моменты (как начальные, так и центральные) равны 0, т. е. ^У1 =0″ ^уз = 0″ Рз = 0 и в силу определения (3.36) коэффициент асимметрии А = 0.

Для нахождения эксцесса необходимо вычислить четные начальные моменты^[2] у₂ и у₄ :

Следовательно,

Теперь эксцесс по формуле (3.37).

Эксцесс распределения положителен, что говорит об островершинности кривой распределения ф (х) (рис. 3.19). ?

• [1] В литературе встречаются также термины: децили (под которыми понимаются квантили х0, лг0 2,…"*09) и процентили (перцентили) (квантили Л"001, «г002,…, *0,99).
• [2] Вычисление получаемых интегралов опускаем и предлагаем его провести читателюсамостоятельно.