Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡ‹, курсовыС, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅...
Брочная ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Π΅

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с постоянными коэффициСнтами

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

А. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния (1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ: Π“Π΄Π΅ ΠΈ — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ стСпСни, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ся ΠΈΠ· (10) ΠΈ (13), Ρ‚. Π΅. ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π“Π΄Π΅ — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ постоянныС, Π° ΠΈ — частныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния (2). НайдСнныС коэффициСнты ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (3) ΠΈ Π½Π°Ρ…одят. Если ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с постоянными коэффициСнтами (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Рассмотрим Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

(1).

Π³Π΄Π΅ ΠΈ — Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ постоянныС коэффициСнты.

Нам ΡƒΠΆΠ΅ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ уравнСния складываСтся ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

(2).

ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ частного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния (1), Ρ‚. Π΅.

. (3).

Как ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (2), ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вопрос ΠΎΠ± ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния (1) свСдСн лишь ΠΊ Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡΡƒ ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ хотя Π±Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ частного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния (1). Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡƒΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ. Но Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ способ опрСдСлСния ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ΅Π½. ΠœΡ‹ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ сСйчас Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ способы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ всСгда приводят ΠΊ Ρ†Π΅Π»ΠΈ.

А. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния (1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ:

Π³Π΄Π΅ — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹, Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»Π° m ΠΈ n — вСщСствСнныС Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅.

По Π²ΠΈΠ΄Ρƒ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ составим «ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число».

.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ характСристичСского уравнСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈ .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ число k ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Ссли ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ;

Ссли совпадаСт с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ;

Ссли .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. Если правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния (1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

(5),.

Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

(6),.

Π³Π΄Π΅ ΠΈ — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ стСпСни, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΈ .

Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° нахоТдСния :

зная Π²ΠΈΠ΄, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ (3), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ся с Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами;

ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) вмСсто y, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ коэффициСнты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… функциях справа ΠΈ ΡΠ»Π΅Π²Π°. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для коэффициСнтов ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². РСшая эту систСму, находят нСизвСстныС коэффициСнты.

НайдСнныС коэффициСнты ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (3) ΠΈ Π½Π°Ρ…одят .

ЗамСчания:

1. Если функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ищСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (6).

.

2. Если, Ρ‚ΠΎ. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС частноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ищСтся Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° стСпСни ΠΈ .

3. Если, Ρ‚ΠΎ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ:

Π₯арактСристичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈΠ»ΠΈ.

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

Π’. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… постоянных Π’ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅, А Π±Ρ‹Π» ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ построСния для ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… постоянных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ любого Π²ΠΈΠ΄Π°.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, рассмотрим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

(1):, Π³Π΄Π΅ — любая функция (нСпрСрывная).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ извСстно ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (2).

Π³Π΄Π΅ — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ постоянныС, Π° ΠΈ — частныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния (2).

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ частноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния (1) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

(8).

Ρ‚.Π΅. Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (7), Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ вмСсто ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… постоянных подставим ΠΏΠΎΠΊΠ° нСизвСстныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. НайдСм ΠΈΡ…. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния (1), Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡ… Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, этого нСдостаточно. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΏΡ€Π°Π²Π΅ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ… Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ условиС ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»Ρƒ.

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

. (9).

ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄, ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Π±Ρ‹ ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ постоянными. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ.

. (10).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°. (11).

НайдСм. (12).

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ (9), (11) ΠΈ (12), Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠΈΠ»ΠΈ.

.

Но ΠΈ ΡΡƒΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (2), поэтому ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ.

(13).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ся ΠΈΠ· (10) ΠΈ (13), Ρ‚. Π΅. ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π­Ρ‚Π° нСоднородная систСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Ρ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ .

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Вронского, ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, поэтому систСма (14) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· (14) ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Сгрируя ΠΈΡ…, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈ .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Если ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π²Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ постоянныС, Ρ‚ΠΎ ΡΡ€Π°Π·Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (1).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅.

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с постоянными коэффициСнтами.

Π₯арактСристичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ЧастноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

Π³Π΄Π΅ ΠΈ.

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΡ‹:

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с постоянными коэффициСнтами.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚.

ΠΈΠ»ΠΈ .

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ