Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение.

(1).

где и — заданные постоянные коэффициенты.

Нам уже известно, что общее решение такого уравнения складывается из общего решения, соответствующего однородного уравнения.

(2).

и какого-нибудь частного решения уравнения (1), т. е.

. (3).

Как строить общее решение однородного уравнения (2), мы рассмотрим в предыдущем параграфе. Поэтому теперь вопрос об общем решении уравнения (1) сведен лишь к вопросу о построении хотя бы какого-нибудь частного решения уравнения (1). Вообще говоря, можно, например, угадать. Но такой способ определения очень ненадежен. Мы укажем сейчас точные способы, которые всегда приводят к цели.

А. Правая часть уравнения (1) имеет специальный вид Рассмотрим функцию:

где — полиномы, а числа m и n — вещественные любые.

По виду этой функции составим «контрольное число».

.

Пусть корни характеристического уравнения будут и .

Определим число k следующим образом:

если контрольное число не совпадает ни с одним из корней ;

если совпадает с одним из корней ;

если .

Правило. Если правая часть уравнения (1) имеет вид:

(5),.

то частное решение следует искать в форме.

(6),.

где и — полиномы степени, равной наивысшей из степеней полиномов и .

Схема нахождения :

зная вид, записывают в форме (3), причем полиномы и и записываются с неопределенными коэффициентами;

подставляют в уравнение (1) вместо y, и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях справа и слева. Получают систему уравнений для коэффициентов многочленов. Решая эту систему, находят неизвестные коэффициенты.

Найденные коэффициенты подставляют в формулу (3) и находят .

Замечания:

1. Если функция имеет вид: или, то частное решение все равно ищется в виде (6).

.

2. Если, то. В этом случае частное решение ищется в форме:. При этом степень равна степени и .

3. Если, то, а имеет вид.

.

Пример.

Здесь:

Характеристическое уравнение.

. Следовательно, .

Поэтому следует искать в виде:

Отсюда.

Подставляя в уравнение и, находим:

Отсюда или.

.

Следовательно, .

В. Метод вариации произвольных постоянных В пункте, А был изложен метод построения для специального вида. Метод вариации произвольных постоянных применим для функции любого вида.

Итак, рассмотрим уравнение.

(1):, где — любая функция (непрерывная).

Пусть нам известно общее решение однородного уравнения (2).

где — произвольные постоянные, а и — частные решения уравнения (2).

Будем искать частное решение уравнения (1) в виде.

(8).

т.е. в таком же виде, как общее решение (7), но только вместо произвольных постоянных подставим пока неизвестные функции. Найдем их. Поскольку должно быть решением уравнения (1), то функции и связаны только одной зависимостью. Для того чтобы их найти, этого недостаточно. Поэтому мы вправе наложить на них еще одно условие по произволу.

Найдем производную.

. (9).

Потребуем, чтобы имело бы такой же вид, как если бы и были бы постоянными. Отсюда следует, что должно быть.

. (10).

Тогда. (11).

Найдем. (12).

Подставляя и определенные формулами (9), (11) и (12), в уравнение (1), тогда получим:

или.

.

Но и суть решения однородного уравнения (2), поэтому имеем.

(13).

Таким образом, и определяются из (10) и (13), т. е. из системы уравнений.

Эта неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно и с определителем .

Это определитель Вронского, по доказанному ранее, поэтому система (14) имеет единственное решение. Определение из (14) и интегрируя их, найдем и, а затем и .

Замечание. Если при интегрировании и ввести произвольные постоянные, то сразу получим общий интеграл неоднородного уравнения (1).

Пример.

Соответствующее однородное.

Характеристическое уравнение .

Общее решение однородного уравнения Частное решение заданного уравнения ищем в виде.

где и.

определяются из системы:

Отсюда.

Общее решение будет.

или .