Многослойная пластина с внутренними источниками теплоты

Найдем решение стационарной задачи теплопроводности для многослойной плоской стенки с внутренними источниками теплоты в следующей математической постановке:

где Ц. г) определяется из (3.6). По аналогии с Х (х) величину интенсивности внутренних источников теплоты q (x) через асимметричную единичную функцию Щх — х,) можно представить в виде.

где Щх — X/) определяется по соотношению (3.7).

Непосредственное интегрирование уравнения (3.49) приводит к соотношению

где С и С₂ — постоянные интегрирования.

Определив интегралы в (3.52) и постоянные интегрирования С и С₂ из граничных условий (3.50), (3.51), можно получить искомое решение. Однако такой путь приводит к весьма громоздкому выражению для аналитического решения. В связи с этим рассмотрим другой способ получения более простого решения. Для этого введем новую независимую переменную г по соотношению.

где г-г— находится из (3.14). Отсюда (3.53) примет вид.

КХ)

Второй интеграл правой части соотношения (3.54) ввиду свойства (3.7) асимметричной единичной функции приводится к виду.

Определяя интегралы в (3.54), получаем уравнение.

Из последнего соотношения следует, что.

Из (3.55), например, для двухслойного тела находим.

Отсюда можно заключить, что новая независимая переменная представляет собой термическое сопротивление соответствующего участка стенки. Ее размерность м²-К/Вт является величиной, обратной размерности коэффициента теплопередачи.

Продифференцируем соотношение (3.53) но переменной х:

Так как переменная z является функцией х, то справедливы соотношения.

Отсюда следует, что производная от температуры по переменной z является мерой теплового потока:

С учетом приведенных соотношений дифференциальный оператор левой части уравнения (3.49) будет иметь вид.

Тогда математическая постановка задачи (3.49)—(3.51) принимает вид.

Для произведения X (z)q (z) по аналогии с (3.6) можно записать.

где H (z — Zj) определяется соотношением, аналогичным соотношению (3.7).

Очевидно, что уравнение (3.59) для непосредственного интегрирования является более простым, чем уравнение (3.49). Интегрируя уравнение (3.59) первый раз, находим.

где С — постоянная интегрирования.

Определяя интегралы в (3.63), получаем соотношение.

Интегрируя соотношение (3.64), будем иметь уравнение.

Определяя интегралы в правой части соотношения (3.65), находим.

Постоянные интегрирования С и С₂ находятся из граничных условий (3.60), (3.61). Подставляя (3.66) в (3.60), получаем С₂ = Т_с. Подставляя (3.66) в (3.61), будем иметь уравнение.

Отсюда.

Подставляя найденные значения коэффициентов С и С₂ в (3.66), получаем соотношение.

Соотношение (3.69) в замкнутом виде определяет решение задачи (3.49)—(3.51).

Например, для двухслойной пластины соотношение (3.69) принимает вид.

В случае q = q₂ = 0 при исходных данных, приведенных в параграфе 3.1, решение (3.70) совпадает с решением (3.23).

Для проверки выполнения условий сопряжения в точке контакта слоев (г = Z) запишем соотношение (3.70) соответственно для первого и второго слоя:

Очевидно, при z = Z T (z) = T₂{z).

Проверим выполнение условия равенства тепловых потоков:

Соотношение (3.73) записано с учетом того, что переменная z является функцией х. Учитывая (3.56), соотношение (3.73) можно записать в виде.

Подставляя (3.14) в (3.74), будем иметь соотношение где г) = х — Х.

Соотношение (3.75) с учетом свойства асимметричной единичной функции (3.7) приводится к виду.

Таким образом, для новой независимой переменной условие равенства тепловых потоков преобразуется в условие равенства производных от температурных функций.

Подставляя (3.71), (3.72) в (3.76), можно убедиться, что второе условие сопряжения (условие равенства тепловых потоков в точке контакта слоев) также выполняется.

Используя соотношение (3.70), найдем решение конкретной задачи теплопроводности для двухслойной пластины с постоянными в пределах каждого слоя внутренними источниками теплоты при следующих исходных данных:

Результаты расчетов температуры, но формуле (3.70) даны на рис. 3.2. Их анализ позволяет заключить, что толщины слоев при использовании в качестве пространственной координаты переменной z распределяются согласно их термическим сопротивлениям. Так как коэффициент температуропроводности первого слоя значительно меньше, чем второго, то при оди;

Рис. 3.2. Распределение температуры в двухслойной пластине при использовании независимой переменной г.

наковой действительной толщине слоев (Sj = 5₂) толщина первого слоя в переменной z ввиду его большего термического сопротивления оказывается значительно большей, чем толщина второго слоя. При этом излом температурной кривой на границах слоев (при z = Z) отсутствует. Это связано с тем, что в переменной z на границе слоев выполняется условие (3.76).

Распределение температуры при использовании в качестве пространственной координаты переменной х дано на рис. 3.3. В этом случае в точке контакта слоев (х = Х|) должно выполняться условие 'kdT/dx = = Х,₂dT₂/dx. В связи с этим в точке х = Х наблюдается излом температурной кривой.

Рис. 33. Распределение температуры в двухслойной пластине при использовании.

независимой переменной х

Если положить = Х₂, Я⁼ Я2 ⁼ О, ^то при заданных выше температурах на границах двухслойной системы в точке контакта слоев по формуле.

(3.70) получаем температуру Г=50°С, что соответствует точному решению.

Найдем решение уравнения (3.49) при неоднородных граничных условиях третьего рода вида (3.46), (3.47). Подставляя (3.66) в (3.46), (3.47), для определения неизвестных коэффициентов С и С₂ будем иметь систему двух алгебраических линейных уравнений. Ее решение будет иметь вид.

где величина А находится из соотношения (3.30); а = 4X,₁z₀ + a(z_n — 2z₀); b = (z_n - z,)²; c — z_n — Zj, a, = X_tq_x + A;a₂ = 2z_n — z_t; a₃ = X, — a, z₀; fl₄ = а₍Г_ср1 + + ^a5 ^{= a}2^zn ⁺ Kr ^a6 ^{= a}i²o ^— 2X, i; a7 = a(j_n + Ac.

Найдем решение уравнения (3.49) при смешанных граничных условиях второго и третьего родов вида (3.33), (3.34). Формулы для постоянных интегрирования С и С₂ соотношения (3.66) в данном случае будут иметь вид