Разностные схемы для уравнений параболического типа

Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности с условием на прямой t = О Требуется найти функцию u (x, t), которая при (>0 исо <�х< -ко удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при t = 0 выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение u{x, t), непрерывное вместе со своими про.

изводными Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде L (u) = f. Для этого достаточно положить.

Будем далее считать, что t изменяется в пределах 0 < t < Т < оо. В рассматриваемом случае.

D = {-оо < д: < +оо, 0 < t < Т), Г- объединение прямых t=0 и t= Т.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область D = D + Г сеточной областью D_h. К области D_h отнесем совокупность узлов (х_ш, t_u), где.

Заменим задачу L (u) = f разностной схемой вида L_k(u^(h>) = f^ih). Обозначим через u (x_m, t_n) точное значение решения задачи L (u) = f в узле (x_m, t_n), а через и" _п — соответствующее приближенное решение. Имеем.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим.

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве F_h возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций.

Норму в F_h определим правилом Пусть г = rh, где г и 5 — некоторые положительные числа.

д^ги д^Аи

Предположим, что для —у и —j верны оценки.

dt дх

Тогда легко получить.

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы.

(3.13) можно взять S= 2, а в случае схемы (3.14) можно взять S= 1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13),.

(3.14) аппроксимируют задачу L (u) = / с погрешностью порядка S относительно к.

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, т. е. по значениям м", т = 0, ± 1,…, вычислить значения на первом слое и'_п, т- 0, ±1,… Для этого достаточно в (3.13) положить п = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по.

I 2.

значениям u_m можно аналогично при п = 1 вычислить значения и_т и т. д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим /2 = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений и^[_т__{9 и_т, и^₊₁, в правой части будут значения <�р (х_т,0) и у/(х_т). Для вычисления значений на первом слое и[₂, u__v и, и₉ и₉… в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.