О сходимости числовых последовательностей и о бесконечно больших числах

В этой главе сформулированы определение е-расходимости и w-cxoдимости числовых последовательностей, с помощью которых показано, что множество последовательностей Коши содержит подмножество бесконечно больших последовательностей. Этот явился основанием для корректного введения бесконечно больших и бесконечно малых действительных чисел. Описаны некоторые свойства таких чисел. Класс неограниченных последовательностей разделен на пять подклассов. Приведены примеры. В главе используются известные символы сравнения: h = o (g) и / = 0{q),

h f

означающие, например, при х —>оо, что lim — = 0 и lim— = К ф0, KeR,.

g <7.

соответственно.

Сходимость числовых последовательностей

Бесконечность множества N — (1,2,…, п, …) натуральных чисел понимается как неограниченная возможность перехода от п к (п + 1) (см. Гл. 6.1). Естественно упорядоченное множество а значений а_п функции/ N —> Н с R называется числовой последовательностью (а):

Числовая последовательность (7.1.1) называется (см. [96, S. 62], [98, S. 19]) сходящейся к числу а е R, и про нее говорят, что она сходится к числу а, если выполняется следующее условие:

Условие (7.1.2) имеет эквивалентную предельную форму записи:

В противном случае, т. е. если lim (a") равен ±оо или не существует, последовательность (а) называется в анализе расходящейся (DS).

Для каждой числовой последовательности (а) множество N может быть разбито на бесконечные непересекающиеся подмножества :

так, что на расширенной числовой прямой R = Ru {-оо, + со} при предельном переходе будут выполняться условия:

Разбиение (7.1.3) назовем минимальным для последовательности (7.1.1), если в (7.1.4) выполняется условие (q_i Ф q₂) => (A_(/i *А). Для сходящейся к числу а последовательности (7.1.1) в разбиении (7.1.3) параметр q= 1, А=а и множество о_/; из (7.1.4') пусто. Если при этом.

а? Н <= R, то множество Н называется неполным в R.

Числовая последовательность (7.1.1) называется (см. [63, с. 62], [34, с. 9], [79, с. 84], [97, р. 42−44]) фундаментальной или последовательностью Коши (CS), если выполняется следующее условие:

или, что-то же самое, в силу равенства (6.1.2) или (6.1.3), условие (см. [95, р. 36]). Эти два условия эквивалентны предельным равенствам:

и, соответственно,.

Условие (7.1.5') имеет (см. [108, р. 355]) эквивалентную, но более конкретную форму записи:

Эта форма записи определения фундаментальной последовательности показывает, что пара (т, п) переменных п и т в (7.1.7) является С-точной парой переменных (см. (6.1.2) и (6.1.3)). Так что в условии (7.1.7) мы можем принять, например, что.

Ниже рис. 7.1 иллюстрирует определение (7.1.5).

Рис. 7.1.

Отметим, что множество последовательностей Коши ({CS}) удовлетворяет следующему свойству: если (а), (А)е{С5}, тогда последовательность.

т. с. с_п =аа_п +(3Ь_п, при любых а, Р е R удовлетворяет условию (7.1.6):

Почти точно следуя идее Конрада Кноппа (см. [96, S. 85], по ср. [96, S. 63]), введем следующее понятие.

Определение 7.1.1. Числовая последовательность (а) называется ерасходящейся, если существуют такие две бесконечные подпоследовательности ^|, ^{с что} выполняется следующее условие:

Характеристическое условие (7.1.9) е-расходящейся последовательности иллюстрирует рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Пример 7.1.1. Последовательность (а), определенная для всех пе N формулой а_п = (-1)", является расходящейся и ограниченной, что очевидно. Для нее в качестве Ъ,₂ с N подпоследовательностей^, п^₂=0 можно выбрать множество нечетных и четных чисел, соответственно, и, например, при 0<8<2 можно взять п* = 1. Отметим, что.

lim а", = -1 и lim a_L = 1.

^me4i

Очевидно, что {(я)} = {CS}'u{DS}. В анализе принято также считать, что эти два множества последовательностей не пересекаются, т. е.

Ниже делается попытка оспорить утверждение (7.1.10).

Сравнением условий (7.1.5)-(7.1.7) и (7.1.9) доказывается Теорема 7.1.1. Всякая числовая последовательность является либо фундаментальной последовательностью, либо е-расходящейся, т. е.

Легко показать, что.

Покажем на примере числовой последовательности (а), для которой VnsN а_п = п^а, 0<�а<1,что

• Последовательность (п^а), где 0 < а < 1, является расходящейся, т. к. при 0 < а < 1 Нш/?" = оо. С другой стороны, в силу бесконечности в (7.1.9) последовательностей ^,^₂cJV i?,₂⁼0 пара (т, п) переменных те^| и ие^₂ является (см. Теорема 6.2.4) С-точной парой (6.1.3) и мы можем считать (см. (7.1.7')), что.

Рассмотрим далее функцию f: i?₊—>/?₊, определенную формулой /(х) = (х + q (x))^a — х^и. Значение /(п) = (п + q (n))^a -п^а функции / совпадает с разностью (т^а — п^а) при m = n + q (n). Легко показать, что при х—>оо lim/(x) = 0. Следовательно, условие (7.1.9) будет нарушено, по крайней мере, для одной какой-нибудь пары (m₀, n₀) е (?,!;,) значений /и₀

> п и л₀ > л*. Это доказывает, что последовательность (л"), где 0<�а<1, не является е-расходящейся. ?

Поэтому вместо условия (7.1.12) имеет место строгое включение (7.1.13). И следовательно, с учетом (7.1.11) вместо (7.1.10) справедливо неравенство

Пример 7.1.2. Пусть последовательность (S_n) определена для всех n&N формулой S_n = ^" р ^]. Равенство S_n = Arcsin (x") разрешимо относительно х" при всех конечных п. Но получаемое при предельном переходе равенство.

является в анализе некорректной [72, с. 16] задачей, т. к. =оо. Поэтому последовательность (х_п), определяемая для всех neN равенством x"=sinS", признается расходящейся, несмотря на выполнение для нее следующего предельного условия:

Условие (7.1.16) и подобные примеры мотивируют введение (см. [70, с. 26]) следующего обобщения классического понятия сходимости числовой последовательности (почти по А. Гурвицу [20, с. 20−21]):

Определение 7.1.2. Мы называем числовую последовательность (а) w-сходящейся последовательностью (w-CS), если выполняется следующее условие:

или, что-то же самое, но в предельной форме записи.

Понятие «w-CS» использовано в [63, с. 62] как синоним для «CS». Очевидно, что сходящаяся к числу а последовательность (а) будет и w-CS. Обратное утверждение не имеет места в общем случае, как показывает следующий ниже пример.

Пример 7.1.3. Последовательность (с_п), определенная для всех neN формулой с_п =1п/г, удовлетворяет условию (7.1.17), но она расходится в классическом смысле, как и последовательность (S_n) из Примера 7.1.2.

Теорема 7.1.2. Для любой w-сходящейся числовой последовательности и любого натурального числа р выполняется предельное равенство

• При всех натуральных р и п справедливо следующее равенство:

которое при р = const и предельном переходе при п —" оо даст требуемый результат вследствие равенства (7.1.17'). ?

Теорема 7.1.3. Множество w-сходящихся последовательностей совпадает с множеством фундаментальных последовательностей:

• Предположим противоположное утверждение, что существует w-сходящаяся последовательность, не являющаяся фундаментальной. Тогда она будет в силу Теоремы 7.1.1 е-расходящейся, т. е. для нее справедливо условие (7.1.9):

В силу бесконечности последовательностей ^,^₂ среди всех пар (тД)е^х^₂ найдется, но Теореме 6.2.3 сколь угодно таких пар (т*, ?*)е?, х?₂, т*, к* > п*, что для некоторого %е N т* - к* = q₀ и, например, т‘ -к* +q₀. Тогда вследствие (7.1.19) мы имеем неравенство:

Пусть в (7.1.20) 1 < q₀ < р, peN, то в этом случае вследствие равенства (7.1.18), справедливого для любой w-CS, имеет место следующая оценка:

Пусть /г** =sup{/7*, 77*(6, р)}. В силу того, что л в (7.1.21) принимает все значения n e TV, n > n , то среди всех пар (n, к), n, к > n , найдется по крайней мерс одна такая пара (п₀, кд), что п₀ = к*₀. Тогда из неравенств (7.1.20), (7.1.21) получается требуемое противоречие:

Теорема 7.1.3 позволяет отождествить понятия w-сходящейся числовой последовательности и фундаментальной.

Числовая последовательность (7.1.1) называется ограниченной, если.

Если же для любого числа С > 0 найдется такое число (номер) neN, что | а_п | > С, то числовая последовательность (а) называется неограниченной.

Определение 7.1.3. Числовая последовательность (а), определенная для всех п е /V формулой а_п =f (n), называется тотально расходящейся последовательностью, если для любых двух бесконечных подпоследовательностей ?,₂ П^₂ ⁼0 выполняется следующее условие'.

Пример 7.1.4. Тривиальной тотально расходящейся последовательностью будет последовательность, определенная для всех п е N формулой а_п = (-1)" • п .

Существование ограниченных тотально расходящихся последовательностей противоречит лемме Больцано-Вейерштрасса [79, с. 87].