Обзор теоретических исследований по учету корреляционных эффектов в многоэлектронных системах

Одним их характерных квантовых эффектов, обусловленных тождественностью электронов в многоэлектронных системах, являются эффекты, связанные с корреляцией электронов. происхождение этих эффектов можно пояснить следующим образом. Если уровни энергии электронов заполнены в соответствии с принципом Паули, то изменение состояния любого электрона влияет на состояние всех остальных электронов системы одновременно. Наличие такого влияния приводит к появлению у системы электронов дополнительной энергии, которая называется корреляционной энергией. Поскольку при конструировании мнгоэлектронной волновой функции она строится как антисимметричная комбинация одноэлектронных волновых функций, что обуславливает появление обменной энергии, то корреляционная энергия оказывается самым тесным образом связана с обменной энергией, что позволяет рассматривать их сумму как единую обменно-корреляционную энергию.

Ввиду сложности задачи исследования системы многих взаимодействующих электронов, для ее учета используют различные модельные приближения, эмпирические формулы и т. п. Одной из немногих систем, для которой удается вычислить корреляционную энергию методом диаграмм Фейнмана, является теория электронного газа Гелл-Манна и Бракнера. 7] Другим подходом к расчету обменно-корреляционой энергии является использование численных методов, базирующихся на использовании уравнения Кона-Шэма (метод функционала плотности). Изложим ниже применение указанного метода к электрон-дырочной плазме в двумерных полупроводниках, т. е., на тонких пленках. Более конкретно, рассмотрим образование двойного электрического слоя в электронно-дырочной плазме.

Теорию функционала плотности можно легко обобщить на многокомпонентные системы. Так для двухкомпонентной системы (электроны и дырки) полная энергия запишется как.

где , — кинетическая энергия носителей, — электростатическая энергия, — обменно-корреляционная энергия. Варьируя выражение (2.1) по плотностям и, получим два уравнения Шредингера:

(2.2).

где i=eh.

Здесь и далее используется экситонная система единиц: энергия измеряется в единицах, а длина в единицах, где — оптическая масса.

Таким образом, проблема сводится к решению двух одномерных нелинейных уравнений Шредингера для частиц в первой и во второй ямах, которые описываются потенциалами и и, где — обменно-корреляционный потенциал, а электростатический потенциал находится из уравнения Пуасcона :

(2.3).

с граничными условиями:

(2.4).

где, , -двумерные плотности электронов и дырок, соответственно.

Чтобы упростить вычисления, далее будем считать, что заполнен только один уровень размерного квантования. Когда заполнен только нижний уровень размерного квантования, плотности носителей задаются выражениями:

(2.5).

Для обменно-корреляционной энергии используем приближение локальной плотности:

(2.6).

где (- обменно-корреляционная энергия электронов и дырок на единицу объема. Тогда обменно-корреляционные потенциалы имеют вид:

. (2.7).

В общем случае вид выражения для неизвестен. В случае нейтральной электронно-дырочной плазмы для обменно-корреляционной энергии имеется аппроксимационная формула:

(2.8).

где, a=-4,8316, b=-5,0879, c=0,0152, d=3,0426. Для однокомпонентной системы (ne nh =0) будем использовать следующее выражение:

где — число эквивалентных долин.

В общем случае возьмем следующую аппроксимацию для :

(2.10).

где и — обменно-корреляционные энергии на частицу задаются формулами (2.10) и (2.9), соответственно,, ,.

Для f (y) используется такое же выражение:

(2.11).

Предполагаем, что существует равновесие между поверхностью и объемом, тогда должны выполняться условия:

(2.12).

(2.13).

где — среднее удаление электронов (дырок) от поверхности полупроводника, — число эквивалентных долин, e и hквазиуровни Ферми для электронов и дырок,. Таким образом, задавая и мы можем найти концентрации и для заданных значений .

Физическая причина образования второго слоя очень проста. Предположим, что первый слой является электронным, а второй дырочным. Тогда при освещении светом, когда и, падение потенциала в электронном слое происходит на расстоянии порядка нескольких экситонных радиусов и дырки смогут находиться вблизи электронного слоя. Переэкранировка внешнего электрического поля электронами будет гаситься дырками, причем дырки совместно с электронами будут сами создавать себе потенциальную яму. 8,16].

Оценим изменение полной энергии при добавлении к двумерному слою электронов двумерного слоя дырок плотности. Пусть слои находятся на расстоянии, тогда, считая, что носители образуют — слои, получаем для изменения электростатической энергии:. В кинетической энергии учитываем только энергию движения вдоль поверхности. Тогда получим для вклада кинетической энергии в: ?T. Для изменения обменно-корреляционной энергии запишем приближенное выражение:, где — средняя обменно-корреляционная энергия.

Таким образом, изменение полной энергии Et запишется в следующем виде:

Et=+4Nh2zeh+ Nh, (2.14).

Используя простую аппроксимацию, для и пренебрегая электростатической энергией, получаем необходимое условие для образования 2МЭДП:

(2.15).

где — характерный размер волновой функции электронов,.

— константа, численное значение которой порядка единицы.

Из выражения (2.15) следует, что наиболее стабильное состояние 2МЭДП будет наблюдаться для поверхностей с большими и .

Для более строгого определения условий существования 2МЭДП необходимо численно самосогласованно решить уравнения Кона-Шэма (2.1)-(2.9). Самосогласованные вычисления сделаны для различных поверхностей кремния. На рисунке 2.1 показаны волновые функции и эффективные потенциалы для поверхности кремния (100), причем в первом слое находятся дырки, а во втором электроны (h-e слой). Видно, что волновые функции электронов и дырок сильно перекрываются. 9].

Для того чтобы показать возможность образования второго слоя (например, электронного) необходимо вычислить среднюю энергию связи электрона и дырки:

Рисунок 2.1 — Самосогласованные потенциалы и волновые функции электронов и дырок для поверхности кремния: =1012см-2, Ne=4*1011см-2.

Область существования 2МЭДП находится из условия. Видно, что существует область плотностей (а значит и область для квазиуровней Ферми e и h), в которой возможно образование 2МЭДП. Убывание средней энергии связи с возрастанием плотности (или) происходит в основном из-за возрастания кинетической энергии носителей вдоль поверхности полупроводника. Поэтому для поверхностей с большими эффективными продольными массами и (или) большим числом эквивалентных долин 2МЭДП может образовываться для более широкой области плотностей во втором слое. Отметим, что для поверхности существует критическая концентрация, выше которой образование 2МЭДП невозможно.

Именно для поверхности кремния имеется наибольшее число эквивалентных долин и, следовательно, кинетическая энергия носителей дает наименьший вклад в полную энергию. 10] Сравнение рисунков показывает, что средняя энергия связи электрона и дырки существенно больше для поверхности кремния.

Интересная особенность возникает в зависимости суммы квазиуровней Ферми электронов и дырок от концентрации носителей во втором слое (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 — Зависимость средней энергии связи электронов и дырок от концентрации дырок в кремнии.

Рисунок 2.3 — Зависимость суммы квазиуровней Ферми от концентрации дырок во втором слое для eh-слоя на поверхности кремния.

При концентрациях сумма e + h увеличивается с возрастанием. Такая зависимость связана с тем, что при низких концентрациях главную роль играет обменно-корреляционное взаимодействие. Монотонное возрастание суммы квазиуровней Ферми с увеличением концентрации во втором слое может привести к пространственной неустойчивости во втором слое носителей. Условие устойчивости равновесия между поверхностью и объемом запишется в следующем виде:

(2.16).

где e + h, — число электронно-дырочных пар в объеме полупроводника, и — флуктуации плотности во втором слое и объеме полупроводника, соответственно.

При полной постоянной концентрации носителей величины и имеют противоположные знаки, поэтому при различных знаках у производных в выражении (2.16) состояние системы всегда будет устойчивым. При одинаковых знаках производных состояние может быть неустойчивым, поэтому в этом случае второй слой должен разбиваться на области с плотностью, при которой условие (2.16) выполняется. Очевидно, в этом случае возможно разбиение второго слоя на капли, которые могут не перекрываться друг с другом. При таком разбиении второй слой будет диэлектриком, и проводимость по второму слою будет отсутствовать, что подтверждается результатами эксперимента.

В работе найдено, что присм-2 проводимость поверхностных пар не наблюдается. 11,16] В этой работе исчезновение проводимости объясняется существованием фазового перехода плазма-жидкость, т. е. образованием объемных e-h капель, связанных со слоем поверхностного заряда.

В представленной здесь модели этот эффект объясняется разбиением на двумерные капли, которое происходит при. Расхождение экспериментального и теоретического значения, по-видимому, связано с уменьшением роли обменно-корреляционного взаимодействия в нашей модели. В случае, если взять в формуле (2.10) f (y)=1, тогда критическое значение плотности, ниже которой отсутствует проводимость, составляет приблизительно 21 012см-2.

Из рисунке 2.2 также видно, что 2МЭДП может существовать только при нахождении квазиуровней Ферми электронов и дырок в достаточно узкой полосе. Как следует из результатов, представленных на рисунке 2.2, величины квазиуровней Ферми практически не имеют общих областей при различных. Это значит, что для данной интенсивности внешнего излучения 2МЭДП может существовать только в узком диапазоне величины, что противоречит результатам эксперимента. Это противоречие снимается, если в теории увеличить роль обменно-корреляционного взаимодействия. В частности, расчеты, выполненные с f (y)=1 (обменно-корреляционная энергия задается формулой (2.9), показали, что области существования 2МЭДП с различными сильно перекрываются.

Кроме полученных выше эффектов, на поверхности полупроводника возможно образование многослойной системы, т. е. системы состоящей из чередующихся слоев электронов и дырок. Отметим также, что 2МЭДП может образоваться на поверхности полупроводника при.