Расчет коэффициентов относительной важности

При определении коэффициентов относительной важности (КОВ) для получения относительных суждений экспертов, выявления возможных ошибок при назначении оценок и облегчения последующих расчетов в зависимости от применяемой шкалы оценок часто вводится одно из следующих нормирующих условий:

где Kj_s — весомость j-го элемента у s-ro эксперта; п — количество оцениваемых элементов.

Однако введение подобного условия в какой-то мере затрудняет назначение оценок (надо «разбивать», скажем, единицу на несколько неравных долей), особенно когда сопоставляется 10 и более элементов.

Эксперту проще определять КОВ без использования нормирующих условий. В этом случае операцию нормирования может выполнить рабочая группа, проводящая обработку экспертных оценок.

Практика экспертных опросов показала, что эксперты испытывают трудность при определении КОВ не только из-за введения нормирующих условий. У многих экспертов, привыкших мыслить конкретно, возникают трудности в использовании самого принципа назначения КОВ по критериям, не поддающимся строгому количественному измерению.

Чтобы придать вопросам анкет более конкретный характер, мы рекомендуем при оценке КОВ по каждому оценочному критерию пользоваться таблицей значимости оцениваемого элемента для реализации элементов более высокого уровня (табл. 12.2).

Таблица 12.2

Уровни значимости оцениваемых элементов

Такой же шкалой оценок целесообразно пользоваться при одновременной оценке большого количества элементов, например работ, предлагаемых для включения в план. После оценки важности каждой работы для всех элементов более высокого уровня проводится нормирование коэффициентов.

Какому диапазону оценок (0—1; 0—10; 0—100) отдать предпочтение? На практике используются все три шкалы оценок. При числе оцениваемых элементов до десяти (п < 10) можно рекомендовать пользоваться первой шкалой; при числе оцениваемых элементов 10 < п < < 15 можно рекомендовать вторую шкалу, которая имеет больший диапазон возможных оценок; при п > 15 следует использовать третью шкалу. Для уменьшения числа одновременно оцениваемых элементов целесообразно ввести в структуру дерева целей дополнительный промежуточный уровень.

Кроме того, экспериментально установлено, что при 100-балльной шкале оценок эксперт обычно не может использовать весь ее диапазон, а оперирует в лучшем случае оценками, отличающимися друг от друга не меньше чем на 5 баллов. В то же время шкала 0— 1 обладает недостатком, заключающимся в том, что приходится оперировать с десятыми и сотыми долями единицы.

Как уже отмечалось, в некоторых случаях возможно определять КОВ не экспертно, а на основе достаточно строгих расчетов, на основе которых они в дальнейшем определяются. Перевод в безразмерные оценки осуществляется для того, чтобы можно было складывать оценки, полученные по разным критериям, имеющих разную размерность.

Так, КОВ могут быть определены путем сопоставления существующего и планируемого уровня удовлетворения какой-либо потребности. Предположим, что поставлены цели для определенной производственной операции улучшить качество выпускаемой продукции и увеличить производительность труда. Относительную значимость данных целей можно определить исходя из отношения фактических значений данных показателей к их требуемому (плановому) значению. Например, первая цель может заключаться в доведении величины этого отношения для показателя качества продукции с 0,6 до 0,9; вторая цель — в доведении величины этого отношения для показателя производительности труда с 0,7 до 0,8. Тогда относительную важность этих целей по критерию уровня удовлетворения потребностей (достижения требуемого значения) можно оценить следующим образом:

После нормирования имеем:

Рассмотрим подход к определению КОВ на основе ресурсных критериев.

При этом предполагается, что коэффициенты К, изменяются обратно пропорционально затратам ресурсов (Ср, необходимым для реализации элемента j. Тогда чем меньше Cj, тем предпочтительнее элемент j, т. е. если С_; > Cj_₁, то Kj < Kj__v В данном случае:

Прежде чем изложить методику расчета КОВ, кратко рассмотрим ее особенности. Об одной из них — участии руководителей, принимающих решение, в утверждении окончательной структуры «дерева целей» и КОВ — уже говорилось. Вторая особенность методики — итеративность процесса определения КОВ.

Итерации проводятся при недостаточной согласованности экспертных оценок отдельных экспертов и отсутствии их стабильности.

Блок-схема итеративного алгоритма определения КОВ представлена на рисунке 12.14.

Рис. 12.14. Блок-схема итеративного алгоритма определения коэффициентов относительной важности

На первом этапе расчета при определении КОВ по целевым критериям выявляется некоторое подмножество возможных оценок А', принадлежащее множеству оценок А. Подмножество А' характеризуется различными устойчивыми (стабильными) вариантами оценок КОВ. Степень стабильности оценок определяется путем неоднократного привлечения одних и тех же экспертов для проведения подобных экспертиз. Если это сделать невозможно, то данный этап отсутствует.

В том случае, если различные варианты оценок обладают достаточной степенью согласованности (коэффициент конкордации 1/V > 0,5), из них формируют интегральные оценки.

Такой подход может быть применим при оценке КОВ для всех уровней «дерева целей».

При определении КОВ необходимо учитывать также взаимозависимость элементов одного уровня «дерева взаимосвязей». В частности, такие пути реализации цели «улучшение экономических показателей работы предприятия», как совершенствование управления и совершенствование его информационной базы, тесно связаны. Их реализация как бы дополняет каждую из них, является взаимополезной. Действительно, совершенствование управления без совершенствования его информационной базы дает только ограниченный эффект. Справедливо и обратное утверждение.

Взаимную полезность элементов одного уровня дерева взаимосвязей можно учитывать с помощью так называемого коэффициента взаимной полезности — К_т. В таблице 12.3 приводится условный пример определения К_т целей О_ь О_ъ О3, являющихся элементами одного уровня.

Нулевое значение коэффициента означает, что элемент строки не влияет на реализацию элемента столбца (утверждение, что элемент столбца в данном случае не влияет на выполнение элемента строки, не является справедливым).

Таблица 12.3

Определение коэффициентов взаимной полезности

Значение коэффициента, равное 1,0, означает, что реализация элемента строки приводит к реализации элемента столбца.

Из таблицы 12.3, в частности, следует, что элементы О_ь 0₂ и 0₃ не влияют соответственно на реализацию элементов О_э 0₃ и O_v Кроме того, реализация элемента 0₃ приводит к реализации элементов 0₂ и 0₃. Коэффициенты относительной важности элементов О_ь 0₂ и 0₃ соответственно К, К и К должны быть скорректированы на величины КВП, которые определяются как сумма коэффициентов по столбцам каждого элемента. Корректировка проводится следующим образом:

где и — скорректированные коэффициенты относительной важности.

Обобщая изложенное, можно предложить следующую формулу для определения К_ъп:

где Кщ — коэффициент взаимной полезности j-го элемента для всех остальных элементов этого уровня: К_Вщ, — — коэффициент взаимной полезности j-го элемента данного уровня для каждого элемента этого уровня, включая полезность элемента для самого себя; п — число элементов данного уровня.

Практика проведения экспертных опросов показала, что даже при одинаковом определении степени взаимной полезности отдельных элементов эксперты могут численно выразить ее через существенно различные значения К_Вщ.

Для ликвидации разнобоя оценок можно рекомендовать экспертам некоторые конкретные значения К_Вщ, характеризующие определенную степень взаимной полезности, а именно К_Вщ = 1; 0,75; 0,5; 0,25; 0.

K_BUjj = 0,5 означает, что реализация какого-либо элемента влечет за собой реализацию приблизительно на 50% какого-либо другого элемента этого уровня. К_Вщ = 0,75 и 0,25 означают соответственно, что какой-либо элемент реализуется более или менее чем на 50%.

Перейдем к рассмотрению алгоритма определения КОВ элементов дерева взаимосвязей при движении сверху вниз по его уровням. Использованию алгоритма должен предшествовать анализ необходимости и возможности применения отдельных составляющих этого алгоритма (определение системы оценочных критериев, учет взаимной полезности и компетентности экспертов и т. д.). В зависимости от специфики проблемы эти составляющие могут быть использованы с различной полнотой.

А. Расчет КОВ элементов уровня I «дерева взаимосвязей».

Исходные данные:

1. Оценки КОВ отдельными экспертами. Эти оценки удобно представить в виде таблицы 12.4 (для трех элементов и трех экспертов).

В ней приняты следующие обозначения:) = 1, 2, …, п — число элементов уровня I; s = 1, 2, …, р — число экспертов; % = а, |3,…, и — число критериев; Kj_s — коэффициент относительной важности j-ro элемента уровня I, назначенный s-м экспертом по %-му критерию.

Основным условием назначения Kj_s является 0 < Kj_s < 1 при соблюдении равенства:

2. Оценки относительной важности («веса») критериев, сделанные отдельными экспертами. Эти оценки удобно представить в виде таблицы 12.5.

В таблице приняты следующие обозначения:

U._/S — относительная важность %-го критерия, определенная s-м экспертом, U,_/S назначается исходя из условий:

Таблица 12.4.

Исходные значения коэффициентов относительной важности элементов

уровня I взаимосвязей

Таблица 12.5

Веса критериев

• 3. Оценки компетентности каждого эксперта: h_lt h₂, …, h_p, определенные с помощью методики, которая изложена в главе 9.
• 4. Коэффициенты взаимной полезности j-x элементов первого уровня «дерева взаимосвязей», определенные по формуле (12.1) s-m экспертом.

КОВ рассчитываются в такой последовательности:

1. Определяются суммарные КОВ элементов первого уровня по всем критериям с учетом весов последних:

где Kj_S — суммарный коэффициент относительной важности j-ro элемента по всем критериям для s-ro эксперта. Полученные данные удобно свести в таблице 12.6.

Таблица 12.6

Суммарные коэффициенты относительной важности

При оценке КОВ по одному критерию таблицы 12.6 является исходной и значения К, характеризуют оценки j-ro элемента, сделанные s-m экспертом по одному критерию. В этом случае таблица 12.6 заменяет таблицу 12.4 в исходных данных и расчеты сразу же начинаются с пункта 2. Это относится и к расчетам КОВ элементов более низких уровней.

2. Определяются КОВ элементов первого уровня дерева взаимосвязей с учетом их взаимной полезности:

где К? — КОВ с учетом взаимной полезности.

3. Проводится нормирование Kf_s единицей:

где Kj_s^H- — коэффициент относительной важности, учитывающий взаимную полезность элементов и нормированный единицей.

4. Определяются окончательные средние значения коэффициентов относительной важности, учитывающие компетентность экспертов:

Если компетентность экспертов одинакова или она не учитывается, принимается h_s= 1.

Оценки К: могут быть определены и для отдельных подгрупп экспертов.

Правильность определения К: проверяется (с известной степенью точности, обусловленной округлением при расчетах) равенством:

Б. Расчет КОВ элементов второго уровня и последующих уровней.

Исходные данные.

• 1. КОВ элементов первого уровня «дерева» при расчете КОВ элементов второго уровня; КОВ элементов второго уровня при расчете КОВ третьего уровня и т. д., т. е. КОВ следующего, более высокого уровня «дерева взаимосвязей» (К_ь К_ъ К, К).
• 2. Значения Кф коэффициентов относительной важности t-го элемента второго уровня (третьего уровня и последующих уровней) «дерева взаимосвязей» (i = 1,2, m) для достижения j-го элемента первого уровня (второго уровня и последующих уровней) «дерева» О = 1, 2,…, п) по х^_мУ критерию, назначенные s-м экспертом. Исходные значения КОВ для трех элементов и трех экспертов приводятся в таблице 12.7.

Таблица 12.7

Исходные значения коэффициентов относительной важности

Число таблиц равно числу экспертов р. В целях унификации обозначений будем считать j-м элемент следующего, более высокого уровня «дерева взаимосвязей», а i-м элемент уровня, на котором проводится оценка.

Число и содержание отдельных критериев для оценки каждого элемента могут быть как одинаковыми, так и различными.

• 3. Оценки весов критериев (табл. 12.5 для второго, третьего и последующих уровней «дерева взаимосвязей»).
• 4. Коэффициенты взаимной полезности элементов второго уровня (третьего и последующих уровней) «дерева взаимосвязей», определяемые по формуле (12.1). Здесь п = 1, 2, 3, …, i — номер уровня, для элементов которого определяются КОВ.
• 5. Оценки компетентности каждого эксперта h₁, h_ъ h₃ определяемые, как указывалось ранее (число и состав экспертов при оценке КОВ различных уровней дерева взаимосвязей в общем случае различны). Расчет КОВ проводится в такой последовательности:
• 1. Определяются суммарные КОВ элементов рассматриваемого уровня по всем критериям с учетом весов последних:

где Ky_S — суммарный КОВ i-ro элемента для реализации j-го элемента, назначенный s-м экспертом;

Kjj_s — оценка K_ijs по %-му критерию;

и.j_s — вес %-го критерия, назначенный 5-м экспертом для оценки ;-го элемента.

Полученные данные удобно свести в таблицу 12.8.

Таблица 12.8.

Суммарные коэффициенты относительной важности, рассчитанные по данным s-ro эксперта

Для проверки правильности проведенных расчетов служит условие:

для всех j и 5.

2. Определяется VK_is — КОВ i-ro элемента для реализации всех элементов следующего, более высокого, уровня «дерева взаимосвязей» с учетом коэффициентов их относительной важности для 5-го эксперта.

где каждое слагаемое (W_ils, W_i2s,…, W_ins) характеризует эффективность г-го элемента для реализации одного какого-либо элемента следующего, более высокого, уровня с учетом относительной важности этого элемента. Из условий (12.4) и (12.5) вытекает условие:

Если каждый оцениваемый элемент детализирует только один элемент следующего, более высокого, уровня «дерева взаимосвязей», то вместо таблицы 12.8 удобно составить таблицу 12.9.

Таблица 12.9

Суммарные КОВ, рассчитанные по данным s-ro эксперта.

Число таких таблиц для каждого эксперта равно числу элементов следующего, более высокого, уровня «дерева взаимосвязей». В этом случае.

3. Определяется КОВ элементов уровня II (уровня III и последующих уровней) «дерева взаимосвязей» с учетом их взаимной полезности:

4. Проводится нормирование Wg единицей:

5. Определяются окончательные средние КОВ, учитывающие компетентность экспертов:

Значения W_t, полученные для элементов уровня И «дерева взаимосвязей», входят в число исходных данных при определении КОВ элементов уровня III. При этом индекс i меняется на индекс; — То же делается и при расчете КОВ элементов всех последующих уровней.

Таким образом, при реализации алгоритма изучаемая проблема рассматривается комплексно, учитываются все важнейшие взаимосвязи между элементами. Такой подход к оценке относительной важности элементов и последующему их выбору для практической реализации исключает ориентацию на одну пусть даже очень важную цель, а предполагает совместное рассмотрение нескольких целей. Это в существенной мере снижает вероятность ошибок, обусловленных неточной оценкой относительной важности отдельных целей.

В ряде случаев элементы, конкретизирующие элемент более высокого уровня, оказывают также косвенное влияние на реализацию некоторых других элементов этого уровня. Например, отдельные задачи совершенствования планирования могут содействовать решению отдельных задач совершенствования маркетинговой деятельности. В этом случае назначение КОВ отдельным элементам целесообразно проводить с помощью анкет (табл. 12.10).

Таблица 12.10

Форма анкет экспертного опроса.

В таблице 12.10 элементы i входят в состав элемента 1 более высокого уровня. Условие назначения КОВ элементам i:

где К? — коэффициент относительной важности i-x элементов для каждого элемента 2, 3, …, п, т. е. для элементов, в состав которых оцениваемые элементы непосредственно не входят; он назначается по шкале, принятой при назначении коэффициентов взаимной полезности Kjj.

Обработка данных анкет типа таблицы 12.10 проводится в такой последовательности.

1. Определяются коэффициенты характеризующие относительную значимость /-х элементов для достижения элемента 1 с учетом коэффициента его относительной значимости (К_г):

2. Определяются K_Bj_s — коэффициенты важности /-го элемента для реализации элементов 2, 3, …, j, п:

3. Определяется K_is— окончательный КОВ i-го элемента, полученный по данным s-ro эксперта:

• 4. Проводится нормирование единицей.
• 5. Определяются средние КОВ, учитывающие компетентность экспертов.

После расчета коэффициентов относительной важности элементов отдельных уровней определяется согласованность мнений экспертов с помощью коэффициента конкордации.

Ниже приводится пример расчета КОВ по упрощенному варианту приведенной методики.

На рисунке 12.15 изображен фрагмент «дерева взаимосвязей», включающего генеральную цель, цели первого уровня и мероприятия по их достижению. Очевидно, что число уровней «дерева взаимосвязей», как и число элементов на каждом уровне, может быть иным. В таблицах 12.11 и 12.12 приводятся назначенные экспертами КОВ для целей и мероприятий соответственно.

Таблица 12.11

Коэффициенты относительной важности целей

Рис. 12.15. Фрагмент «дерева взаимосвязей»

Таблица 12.12

Коэффициенты относительной важности мероприятий

КОВ мероприятий М_ь М₃ для совместного достижения целей О_х и О₂ (К_1г К₂и К₃ соответственно) подсчитываются как:

Проверкой правильности проведенных расчетов служит условие выполнения равенства:

КОВ для 3-го и последующих уровней «дерева взаимосвязей» определяются аналогично.

Элементы 2-го уровня «дерева взаимосвязей» теперь являются целями для элементов 3-го уровня «дерева» с КОВ, равными соответственно 0,65; 0,23 и 0,12.

Возможно определение КОВ также в порядковой шкале (рис. 12.16).

Рис. 12.16. Назначение КОВ в порядковой шкале

На 1-м уровне «дерева взаимосвязей» элементы «дерева» получили 1-й и 2-й ранги важности. На 2-м уровне — цифра 11 означает, что для соответствующего элемента 1-го уровня данный элемент получил 1-й ранг важности; цифра 12—2-й ранг важности. Такой же подход использовался при определении рангов важности для других элементов 2-го уровня «дерева взаимосвязей». На 3-м уровне «дерева» будут использоваться уже трехзначные цифры и т. д. Чем меньше величина цифры, тем большим приоритетом на данном уровне обладает оцениваемый элемент «дерева взаимосвязей».

При использовании данного подхода возникают трудности определения рангов важности для «деревьев» с перекрестными связями и невозможность проведения арифметических операций с полученными оценками.