Дифракция света на круглом отверстии

Монохроматический свет от точечного источника 5 падает на непрозрачный экран с круглым отверстием. Источник расположен на оси симметрии отверстия на расстоянии а от экрана (рис. 13.4). При помощи принципа Гюйгенса — Френеля найдем амплитуду световых колебаний в точке Р на оси симметрии за экраном по другую сторону от источника света. Расстояние от экрана до точки Р равно 6. В качестве поверхности, элементы которой будем рассматривать как источники вторичных волн, возьмем фазовую поверхность, «затягивающую» отверстие в экране. Для точечного источника такой поверхностью является сфера а радиуса г. опирающаяся на края отверстия. Центр этой сферы находится там же, где источник. Сфера сг пересекается с осью SP в точке О на расстоянии R₀ от точки Р. Очевидно, что.

Колебание dE, вызванное в точке Р вторичной волной от элемента d поверхности а, расположенного около произвольной точки А, найдем по формуле (13.1). Вследствие осевой симметрии выражение (13.1) не изменится, если элемент поверхности der перенести в другую точку А' поверхности <�т, которая находится на том же расстоянии R от точки Р, что и точка А. Поэтому вместо малого элемента поверхности можно взять узкое кольцо. При этом поверхностный интеграл (13.2) можно свести к определенному интегралу. Выберем в качестве переменной интегрирования расстояние Я и найдем выражение для площади dcr кольца, расстояние от внутреннего края которого до точки Р равно R, а расстояние до его внешнего края равно R + dR, где dR — произвольное малое приращение расстояния Я.

Рис. 13.J. Дифракция света на круглом отверстии.

Из элементарной геометрии известна формула для площади сферического сегмента а = 2 7 г г Л, где h — высота сегмента, т. е. расстояние между точками Я и О на рис. 13.4. При этом площадь узкого кольца будет.

Для того чтобы найти зависимость h от Я, запишем теорему Пифагора для треугольников АВР и SAB:

Вычтем из первого равенства второе. После несложных вычислений с учетом (13.5) придем к зависимости

При этом формула (13.6) принимает вид.

Подставив это выражение в формулу (13.1), получим следующее выражение для колебания dE в точке Р, вызванного вторичной волной, пришедшей в эту точку от узкого кольца:

Для колец не очень большого радиуса угол в мало отличается от нуля и множитель К (в) почти постоянная величина. Поэтому в формуле (13.7) выражение перед косинусом можно также считать величиной, которая не зависит от переменной R:

где С = const. Согласно принципу суперпозиции (13.2) колебание в точке Р будет выражаться определенным интегралом.

где Rn — расстояние от точки Р до края отверстия. Интегрирование по формуле Ньютона-Лейбница приводит к следующему результату:

Преобразуем это выражение при помощи тригонометрической формулы Получим где амплитуда колебания в точке Р

Е_то = С/к. Анализируя зависимость амплитуды колебания Е_т от расстояния Я/v — Я₀, приходим к выводу, что в том случае, когда разность Яд* — Я_у равна нечетному числу полуволн:

где п = 0, 1, 2, … — натуральное число; амплитуда колебания Е_т = = 2 Е_то, т. е. принимает наибольшее значение. Если же разность Ядг — Я₀ равна целому числу длин волн:

то амплитуда колебаний в точке Р равна нулю.

Разделим волновую поверхность сг, которая затягивает отверстие в экране, на зоны. Первая зона представляет собой сферический сегмент, расстояния до краев которого от точки Р равны.

Вторая зона прилегает к первой и представляет собой кольцо, расстояние до внутреннего края которого от точки Р равно Я^¹', а до внешнего ;

Следующая зона есть кольцо, расстояния до краев которого от точки Р равны Я*²' и

и т.д. Эти зоны называют зонами Френеля. Если размеры отверстия в экране таковы, что волновая поверхность <�т по отношению к заданной точке Р состоит из нечетного числа зон Френеля, то выполняется условие (13.13) и амплитуда световых колебаний в этой точке будет наибольшей. Если же волновая поверхность сг состоит из четного числа зон Френеля, то выполняется условие (13.14) и амплитуда колебаний в точке Р принимает наименьшее значение.

Применим теперь для определения амплитуды световых колебаний в точке Р графический метод сложения колебаний, описанный в разделе 13.2. Для этого мысленно разделим волновую поверхность а, затягивающую отверстие в экране, на узкие кольца. При помощи формулы (13.7) запишем следующее выражение для колебания dEi, возбуждаемого в точке Р вторичной световой волной, пришедшей в эту точку от кольца под номером *:

где 1 = 0, 1, 2,N N — число колец,.

— амплитуда колебания; Р, — расстояние от внутреннего края а-го кольца до точки Р.

Пусть расстояния Ri от краев колец до точки Р таковы, что их разность для любых двух соседних колец принимает одно и то же значение, т. е. не зависит от номера кольца:

Отсюда следует, что Из рис. 13.4 видно, что при увеличении радиуса кольца угол в увеличивается. При этом коэффициент К (0) уменьшается. Поэтому, как следует из формул (13.16) и (13.17), амплитуда dE_m, колебания в точке Р, вызванного вторичной световой волной, пришедшей от узкого кольца, также уменьшается при увеличении его радиуса. Иначе говоря, амплитуда dE_mt колебания, возбуждаемого вторичной волной от i-ro кольца, уменьшается при увеличении его номера i.

Представим каждое гармоническое колебание dEi вектором dA%. Длина этого вектора равна амплитуде dE_m% колебания, а угол между ним и осью абсцисс — разности фаз колебаний dEi и dE₀, возбуждае мых волнами от а-го кольца и маленького сегмента в центре О волновой поверхности а. Из формул (13.15) и (13.18) следует, что.

Амплитуда А суммарного колебания.

Для того чтобы найти сумму векторов dAi, следует расположить эти векторы следующим образом. Вектор dA₀ можно расположить произвольно. Пусть он будет направлен вдоль оси абсцисс. Вектор dA расположим так, чтобы его начало совпало с концом вектора dA₀. Начало вектора dA^ совместим с концом вектора dA и т. д. После того как будут построены таким образом все векторы dAi, построим вектор суммы .4, начало которого совпадает с началом вектора dA₀, а конец — с концом вектора Угол между векторами dAi и dAi+ равен разности фаз колебаний с номерами i и i+ 1. Из (13.19) следует, что 6<�р = к dR, т. е. каждый вектор повернут относительно предыдущего вектора на один и тот же угол. В таком случае, если бы все векторы dAi имели одинаковую длину, они при их последовательном соединении образовали бы правильный многоугольник, который в пределе при dR —? 0 и N —? оо переходит в окружность. Однако вследствие того, что длина dE_m% вектора dAi уменьшается при увеличении номера г, эти векторы при сложении образуют ломаную линию, изображенную на рис. 13.5. В пределе при dR —? О и N —* оо эта линия превращается в спираль, которая ''заканчивается" в точке С на рис. 13.6.

Рис. 13.5. Векторы, представляющие колебания, пришедшие от первых двух зон Френеля.

Рис. 13.6. Векторы, представляющие колебания, пришедшие от многих зон Френеля

Векторы dAi, которые расположены на рис. 13.6 в точках 0, 1, 2, …, образуют с осью абсцисс углы 0, 7 г, 27 г, … Эти векторы представляют колебания, возбуждаемые вторичными волнами, которые приходят в точку Р от границ зон Френеля. Таким образом, векторы <�М,*, образующие дугу между точками Он 1, соответствуют колебаниям, возбуждаемым вторичными волнами от колец, лежащих внутри первой зоны Френеля; векторы.

cL4_t, образующие дугу между точками 1 и 2, соответствуют колебаниям, возбуждаемым волнами от колец, лежащих внутри второй зоны Френеля, и т. д.

Рис. 13.7. Векторы, представляющие колебания, пришедшие: а) от первой половины первой зоны Френеля, б) от второй половины первой зоны Френеля, б) от первой зоны Френеля, г) от второй зоны Френеля.

Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичными волнами от первой половины первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7,а вектором, который начинается в точке 0 и заканчивается в точке /. Колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от второй половины первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7, б"вектором, который начинается в точке / и заканчивается в точке 1. Колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от всей первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7,в вектором, для которого точка 0 служит началом, а точка 1 — концом. На рис. 13.7, г изображен вектор, который начинается в точке 1 и заканчивается в точке 2. Этот вектор представляет колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от второй зоны Френеля. Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичными волнами от всей волновой поверхности <�т представлено на рис. 13.6 вектором, который начинается в точке 0 и заканчивается в точке С. Обозначим длину этого вектора Е_то. Величина Е_то есть амплитуда колебания, возбуждаемого в точке Р волнами от всей волновой поверхности. Иначе говоря, такой будет амплитуда колебаний в точке Р, когда экран с отверстием просто отсутствует. Из рис. 13.7, б видно, что амплитуда E_mi колебания, возбуждаемого в точке Р волнами от первой зоны Френеля, равна ^<1Е_то.

Положение на векторной диаграмме вектора ЛАц можно найти по значению угла, который он образует с осью абсцисс. Этот угол равен разности фаз Д^_>0 между колебаниями, возбуждаемыми в точке Р волнами, приходящими из точки О и от краев отверстия. Согласно формуле (13.19).

Соединив точку 0 на векторной диаграмме с концом вектора (М/v, получим вектор суммы (13.21). Длина этого вектора, выраженная в долях от величины Ет₀, есть искомая амплитуда Е_т колебания в точке Р.