Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий

К уравнениям эллиптического типа, в частности, к уравнению Пуассона (3.25), на границе /'области D присоединяются граничные условия трех видов:

1) граничные условия 1-го рода:

2).

граничные условия 2-го рода:

ди.

—производная по внешней нормали;

дп

3).

граничные условия 3-го рода:

где а,/3,<�р — известные функции.

Если требуется определить функцию и (х, у), которая в области D удовлетворяет уравнению (3.25), а на границе Г — одному из краевых условий, то говорят, что поставлена граничная задача для эллиптического уравнения.

Задача (3.25), (3.32) называется задачей Дирихле, задача (3.25), (3.33) — задачей Неймана, а задача (3.25), (3.34) — смешанной граничной задачей.

Рассмотрим, как можно заменить граничные условия первого рода разностными условиями (рис. 6). Отметим, что граничные условия заменяются условиями на множестве граничных узлов Г_Л.

Пусть (т, п) — некоторый узел из Гр, обозначим его буквой В; (т +1, п) — внутренний узел, ближайший кйпо направлению х обозначим его буквой А. Буквой М обозначим точку контура Г, ближайшую кйпо направлению х.

Рис. 6. Замена граничных условий первого рода разностными условиями

Координаты этих точек такие:

По условию (3.32) имеем и_Г =(р{М). Значит, можно положить:

для узлов (т, п) е Г_и.

Найдем погрешность формулы (3.35). Имеем.

Отсюда следует, что погрешность формулы (3.35) будет иметь первый порядок относительно h в предположении, что 3 = ah. Если точки Ми В совпадают, то формула (3.35) будет точной.

Точность вычисления и_пт при (т, п) еГ_н можно повысить, если воспользоваться еще значением и (х, у) в точке А.

Имеем:

ди.

Исключив из (3.36) — с помощью (3.37), получим.

дх _в

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Обратимся теперь к замене граничного условия 2-го рода разностным уравнением (рис. 7).

Отбросив здесь величину 0(/г), найдем разностное граничное условие, аппроксимирующее граничное условие (3.32) в узле (т, п) е Г_А с погрешностью 0(h²):

Рис. 7. Замена граничных условий второго рода разностными условиями

Пусть В — граничный узел с координатами (х_т, у_п), Мближайшая к В точка контура Г, А — внутренний узел с координатами (х_тА, у_п),

С — граничный узел с координатами (х_т, и — внешняя нормаль к Г в точке М. Обозначим угол между Я и осью Ох через а, между Я.

Ък

и осью Оу — через (5. Очевидно, что (5 =—1- а.

По определению имеем.

Предположим, что в точке В направление нормали такое же, как и в точке М. Поскольку расстояние между В и М есть величина порядка 0(h), то это предположение связано с внесением погрешности того же порядка0(h). Значит, — «— .

дп м дп _в

Поэтому окончательно получим.

Используя приблизительные сеточные значения, найдем.

Эта формула является разностной аппроксимацией в узле (т, п) е Г_к граничного условия второго рода с погрешностью 0(h + /).

Выражения вида (3.39) должны быть записаны для всех граничных узлов и_г=(р (М), после чего будут получены разностные граничные условия, аппроксимирующие граничные условия (3.33). Процедура замены граничных условий разностными может оказаться весьма громоздкой и сложной, особенно если контур Г имеет непростую форму. Замена граничных условий третьего рода может быть осуществлена с помощью формул вида (3.35), (3.37), (3.38).