Синтаксис логики высказываний

Как и всякий язык, язык логики высказываний имеет определенный алфавит и правила построения с его помощью последовательностей знаков, называемых (правильно построенными) формулами.

Синтаксис ЛВ — алфавит и правила, определяющие:

• 1) какие знаки входят в множество символов алфавита логики высказываний;
• 2) какие последовательности знаков представляют (правильно построенные) формулы ЛВ.

Правильно построенная формула Л В — последовательность знаков, которая может быть интерпретирована в качестве истинного или ложного высказывания. Для краткости далее термин «формула» везде употребляется в смысле «правильно построенная формула».

Полный алфавит Л В, необходимый для построения формул логики высказываний, задается определением, которое приведено в табл. 6.1.

Пусть ф, (р, у… обозначают (мета)переменные, пробегающие по всему множеству высказываний ЛВ¹. Это означает, что вместо каждой из букв.

¹ ф читается как «фи», <�р — как «пси», у — как «гамма».

греческого алфавита можно подставлять любое простое или сложное высказывание. Например, вместо переменной ф можно подставить высказывание Л, или высказывание -А, или высказывание (ЛэВ) и т. д. Аналогично для (р, у… Если в выражении -10 переменную фзаменить на высказывание Л, то получится -А, а если на -А, то возникнет высказывание с двойным отрицанием -i-А (эквивалентное Л). Заменяя в -пф переменную ф на (Л з J3), получаем высказываниеп (А = В).

В терминах заданного алфавита ЛВ конструируются формулы — символические эквиваленты простых и сложных высказываний — согласно правилам табл. 6.2.

Для определения того, какие последовательности знаков считать формулами Л В, нужно ввести понятие подформулы. О ней говорят, когда части какой-либо формулы сами являются формулами. Например, формулы Л и В, (Л & В) и (Л v В), ((Л & В) D (Л v В)) — подформулы формулы ((Л & В) э (Л v В)), так как считается, что каждая формула представляет часть самой себя.

Подформула — формула Л В, входящая в состав другой формулы Л В.

Таблица 6.2

Правила построения формул логики высказываний

Согласно определению формулы Л В, последовательность символов ((А &(Лэ В)) D В) — формула, а последовательности символов (A v & В), (А) и (= В) — нет.

В выражении ((А & (A z> В)) э В) к числу формул принадлежат, вопервых, все ее атомарные подформулы — А и В, во-вторых, все ее неатомарные подформулы — (А э В), (А & (А z> В)), включая и саму формулу ((Л & (Л э В)) D Л), так как она также выступает подформулой самой себя. Число левых скобок соответствует числу правых.

В выражении (Л э & В) переменные Л и В соединены подряд идущими логическими союзами v и &, что нарушает пункт 3 определения формулы Л В, согласно которому все указанные там логические союзы бинарные. В выражении (Л) атомарная формула Л взята в скобки, что нарушает пункт 4.1 определения формулы Л В. Выражение (= В) не соответствует сразу двум пунктам определения формулы Л В — 3 и 4.1.

В каждой неатомарной формуле имеется логический союз, который считается главным. Это просто установить, если он вообще один. Скажем, в формуле-Л единственным и поэтому главным логическим союзом служит знак «—>». Соответственно формула Л выступает подформулой формулы -А. В формуле же (Л э (Av В)) главным логическим союзом будет знак импликации, так как именно он при ее построении вводится последним.

Главный логический союз неатомарной формулы ЛВ — тот, который при ее построении вводится последним.

Допустим, следует проверить, представляет ли последовательность знаков ((Л & В & -чС) D ((В & -*С) v Л)) формулу Л В, а также — какой логический союз в ней главный.

С этой целью лучше всего построить дерево данной формулы. Оно строится сверху вниз посредством последовательного выписывания всех подформул, начиная с простых высказываний. Подчеркнутая формула означает, что она есть подформула формулы, написанной строчкой ниже. Количество таких «этажей» зависит от числа включенных логических союзов. Если все подформулы исследуемой последовательности знаков удовлетворяют правилам табл. 6.2, она считается формулой ЛВ.

Дерево исследуемой формулы имеет следующий вид:

Главный логический союз в рассматриваемой формуле — знак импликации.

В формуле ((А & (—¼ v В)) э (А = В)) главный логический союз — также знак импликации:

Каждый логический союз имеет определенную область действия, в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему подформулы. Например, область действия знака отрицания в формуле -А составляет подформула Л, в формулеi (Л & В) — подформула (Л & В). В формуле (Л D (Л v В)) область действия знака нестрогой дизъюнкции образуют формулы Л и В, область действия знака импликации — формулы Л и (Л v В).

Очевидно, что область действия главного логического союза составляют все подформулы данной формулы Л В.

Область действия логического союза образуют все подформулы данной формулы Л В, которые он связывает.

Если высказывание простое, или содержит только знаки конъюнкции, или только слабой дизъюнкции, проблемы определения области действия логических союзов, как правило, не возникает. Во всех иных случаях она возникает. Выражение типа (А & В v С) неопределенно, так как не указано, какие подформулы составляют область действия знака конъюнкции, а какие — знака слабой дизъюнкции. Для устранения указанной неопределенности вводятся скобкй, разграничивающие «полномочия» логических союзов: должно быть либо {А & (В v С)), либо ((А & В) v С).

Скобки можно также рассматривать в качестве указания на то, какое действие, обозначаемое тем или иным логическим союзом, следует выполнять первым, какое вторым и т. д.

Типичная синтаксическая задача— формализация высказываний. Алгоритм ее таков. В анализируемом высказывании сначала находят все простые высказывания. Каждое из них обозначается новым символом, если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначенных высказываний. Затем определяют логические союзы, связывающие простые высказывания. Наконец, конструируется формула, каждая атомарная формула которой обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает логическую структуру формализуемого высказывания. Чтобы сделать процесс формализации более понятным, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

«Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствуется малым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми, потому что для счастья им нужно несметное множество благ» (Франсуа де Ларошфуко).

Простые высказывания: А — «Всех счастливее в этом мире тот, кто умеет довольствоваться малым», В — «Власть имущих надо считать самыми несчастными людьми», С= «Честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми», D= «Для счастья им нужно несметное множество благ».

Логические союзы: D, &.

Формула: (A d (D z> (В & С))).

Пример 2.

«Пока родители живы, не уезжай далеко; а если уехал, обязательно живи в определенном месте» {Конфуций).

Простые высказывания: А = «Твои родители живы», В — «Тебе не следует уезжать далеко», С = «Ты уехал», D = «Тебе обязательно следует жить в определенном месте».

Логические союзы: э, &.

Формула: ((Л э В) & (Сэ ?>)).

Пример 3

«Добродетель, милый мой студент, не делится на части; или она есть, или ее нет» (О. Бальзак «Отец Горио»).

Простые высказывания: А — «Добродетель, милый мой студент, не делится на части», В — «Добродетель есть».

Логические союзы: &, -i.

Логическая структура: (А & (В * ->#)).

Пример 4

«Ибо нет другого способа оградить себя от лести, как внушив людям, что если они выскажут тебе всю правду, ты не будешь на них в обиде, но когда каждый сможет говорить тебе правду, тебе перестанут оказывать должное почтение» (Н. Макиавелли «Государь»).

Простые высказывания: А — «Ты внушаешь людям», В — «Они выскажут тебе всю правду», С — «Ты не будешь на них в обиде», D — «Ты ограждаешь себя от лести», Е ^в «Каждый сможет говорить тебе правду», Н = «Люди перестанут оказывать тебе должное почтение». Логические союзы: =>, &.

Логическая структура: (D => (А э (В э С)) & (Е э IT)).

Пример 5

«Альтернатива известна: либо мы не свободны и ответ за зло лежит на всемогущем боге, либо мы свободны и ответственны, а бог не всемогущ» (А. Камю «Бунтующий человек»).

Простые высказывания: А = «Альтернатива известна»; В = «Мы свободны (делать то, что пожелаем)», С * «Ответ за зло лежит на всемогущем боге», D = «Мы ответственны (за все, что мы делаем)», Е — «Бог всемогущ».

Логические союзы: &, #,.

Логическая структура: (А & ((-?# & С) * (В & D & -«?))).

Пример 6

«Анна и Денис любили друг друга».

Простое высказывание^ = «Анна и Денис любили друг друга». Было бы ошибкой считать, что здесь мы имеем дело со сложным высказыванием: свойство «любили друг друга» не может быть приписано ни Анне, ни Денису в отдельности, а только им обоим вместе.

Логические союзы: нет.

Логическая структура: А.