Введение. 
Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных

В настоящее время возрастают требования к рационализации различных аспектов человеческой деятельности, важное место среди которых занимает производительность труда. Одним из направлений ее повышения является применение современных математических методов и вычислительных средств. Существенную роль в этом деле играют такие разделы науки, как планирование эксперимента, исследование операций, математическое моделирование и ряд других [1—5]. Особое внимание уделяется моделям процессов и способам их построения [4—6]. Применение отработанных технологий при исследованиях позволяет существенно сократить фазу внедрения, тем самым сэкономить время и средства [7—11].

Для эффективного анализа механизмов явлений и управления производственными процессами необходимо выяснить взаимосвязи между наиболее существенными факторами, определяющими ход процессов, и описать их количественно, т. е. придать форму, подлежащую математической обработке и оценке [12—20]. Модель позволяет получить информацию о функционировании объекта исследования и определить способы воздействия на него.

В зависимости от источников информации, используемых при построении моделей, последние подразделяют на физико-химические (аналитические, теоретические) и статистические (эмпирические) [20—50]. Построение теоретических моделей сопряжено с проведением обширных и длительных исследований, в результате они описываются математически сложно, но не только позволяют достаточно точно представить процессы, связанные с функционированием объекта, но и допускают экстраполяцию в отношении точек факторного пространства, где невозможно непосредственное наблюдение [32—38].

Статистические модели строятся на основе собранных и статистически обработанных экспериментальных данных и очень часто описываются полиномами той или иной степени. Область применения такой модели ограничивается ближайшей окрестностью рабочих точек. После установления структуры модели необходимо количественно, опираясь на полученные данные, оценить ее свободные параметры. В зависимости от того, каким образом они входят в модели, последние подразделяются на линейные и нелинейные. Кроме того, модели аналогично различаются и в отношении независимых переменных [13—18].

Существует простой метод проверки и последующей корректировки модели, в которой выбранные в качестве постоянных величин выступают результаты наблюдений. Эти величины не должны подвергаться влияниям неизвестных параметров. Если модель подобрана правильно, то получаемые данные об ожиданиях и взаимодействиях принимают нулевые значения, в противном случае модель признается неадекватной.

На следующем этапе определяется природа несоответствий, т. е. дефектов модели, и с помощью известных методов модель модифицируется. Такое уточнение перепроверяется на основе ранее обработанных данных. Этот процесс носит циклический характер и продолжается до первого успеха.

Можно выделить следующие этапы при построении модели.

• 1. Постановка задачи. Определение цели (выявление структуры или параметров, установление способов управления объектом, нахождение оптимальных условий), оценка исходной ситуации и допустимых затрат времени и средств.
• 2. Сбор априорной информации (изучение документов, получение экспертных оценок, разбор сходных задач).
• 3. Выбор типа модели (статистическая или физико-химическая) и стратегии решения (возможные влияющие факторы и выходные величины — отклики, целевые величины).
• 4. Проверка выбранного способа решения (проведение предварительных экспериментов, в том числе и для оценки качества модели).
• 5. Реализация выбранного способа решения (окончательное установление целевых величин и факторов, объема выборок и плана экспериментов, включающего кратность опытов).
• 6. Анализ и интерпретация результатов (проверка точности оценок параметров и работоспособности модели на предмет достижения поставленной цели; при отрицательном результате — анализ причин и выбор новой модели).

Эксперимент занимает главенствующее место среди способов получения информации о внутренних взаимосвязях явлений в природе и технике. Он является отправной точкой и критерием адекватности большинства наших знаний [21, 24, 25—29].

За последние годы была создана последовательная и достаточно строгая теория регрессионного анализа, базирующаяся на современных теоретико-вероятностных представлениях. Эта теория позволила значительно глубже понимать и оценивать результаты, получаемые методом наименьших квадратов.

Время показало, что регрессионный анализ, несмотря на вышесказанное, не нашел сколько-нибудь широкого распространения для решения практических прикладных задач, когда приходится иметь дело с очень большим числом независимых переменных. Здесь возникают практически непреодолимые трудности, связанные, с одной стороны, с необходимостью проведения огромного количества экспериментов, а с другой — с интерпретацией уравнения регрессии, поскольку все коэффициенты регрессии оказываются коррелированы между собой в той или иной степени.

Большие возможности впервые открылись после того, как в регрессионный анализ были внесены идеи планирования эксперимента. В 1935 г. Р. Фишер, занимавшийся агробиологическими задачами, где оперировал дискретными факторами, опубликовал монографию «Планирование эксперимента». Применявшиеся им методы получили распространение после появления работы Дж. Бокса и К. Уилсона. Развитие современных идей планирования эксперимента для оценки параметров регрессионных уравнений и констант теоретических моделей связано с именем американского математика Дж. Кифера. В развитии отечественной школы по теории планирования эксперимента большую роль сыграли В. В. Налимов, В. В. Федоров, Г. К. Круг, Е. В. Маркова, Ю. П. Адлер и ряд других ученых [4—33].

При классическом подходе к эксперименту исследовалось влияние изменения только одного фактора при фиксированных остальных, что не реализуемо для сложных систем в силу обилия неконтролируемых факторов. Статистический же подход рассматривает влияние таких факторов, как стохастический шум, наложенный на истинные значения. Для того чтобы установить случайность воздействия, применяют специальные методы математической статистики и теории проверки гипотез, позволяющие с достаточной надежностью выделить из шума интересующие факторы [42, 44].

Следует иметь в виду, что при статистической проверке некоторой гипотезы факт ее принятия означает лишь непротиворечивость результатам эксперимента, но не абсолютную справедливость, поэтому из всего предложенного спектра гипотез выбирается та, которая наилучшим образом соответствует этим результатам.

Планирование эксперимента — это новый подход к исследованию, в котором математическим методам отводится ведущая роль, когда экспериментатор, основываясь на априорных данных, выбирает оптимальную в некотором смысле модель, а на апостериорных — ее корректирует.

На математическом языке задача планирования эксперимента формулируется следующим образом: выбрать оптимальное в определенном смысле расположение точек в факторном пространстве для получения некоторого представления о поверхности отклика.

Задачи отыскания оптимальных условий являются одними из наиболее распространенных. Следует отметить, что всегда необходимо четко формулировать, в каком смысле условия должны быть оптимальными, поскольку это определяет в значительной мере успешность исследования. Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным.

Эксперименты, когда в каждом опыте варьируют одновременно все независимые переменные, называются активными, в отличие от традиционных — пассивных, когда это применяется в отношении только одного фактора. Активные эксперименты позволяют:

• 1) использовать чувствительность многомерного регрессионного анализа к соблюдению исходных предпосылок;
• 2) максимально упростить обработку экспериментов для построения регрессионных моделей, поскольку это можно учесть в заранее планируемом эксперименте;
• 3) получить максимум информации об изучаемых явлениях;
• 4) попутно с аппроксимацией функции отклика решать порой более важные для исследования задачи по отысканию экстремума в р-мерном факторном пространстве и оптимальному управлению процессами;
• 5) ранжировать факторы опытным путем по степени их влияния на функцию отклика;
• 6) получать математическое описание процессов, которое ранее было весьма затруднительным, и формализовать методами дисперсионного анализа изучение явлений, зависящих от качественных факторов;
• 7) изучать и математически описывать процессы и явления при неполном знании их механизмов.

Область применения планируемых экспериментов распространяется на все явления, которые зависят от управляемых факторов, т. е. изменяемых и поддерживаемых на определенных уровнях. Данные эксперименты можно подразделить:

• • на отсеивающие, предназначенные для ранжирования;
• • экстремальные;
• • предназначенные для дисперсионного анализа;
• • предназначенные для специальных случаев.