Контрольные вопросы. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

• 1. Во всякой ли группе есть собственная нормальная подгруппа?
• 2. Чему равно пересечение всех нормальных подгрупп группы?
• 3. Если А и В — нормальные подгруппы группы G, то будет ли нормальной подгруппой множество АВ = {ab, а е А, b е В}?
• 4. Если Н =4 G, g е G, то чему равна подгруппа g~¹Hg = {g^-1/^ | h € e Я}?
• 5. Может ли группа содержать один класс (два класса) сопряженных элементов?
• 6. Будет ли группа конечной, если она имеет конечную нормальную подгрупппу, факторгруппа по которой конечна?
• 7. Будет ли группа циклической, если она имеет циклическую нормальную подгруппу, факторгруппа по которой циклическая?

Задачи

• 1. Докажите, что пересечение любого количества нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа.
• 2. Составьте таблицу сложения элементов факторгруппы Z_m = = Z/(m) для каждого т, 2 < т < 6.
• 3. Дана мультипликативная бесконечная циклическая группа G = (а). Составьте таблицу умножения элементов факторгруппы G/H для всех подгрупп (е)<�Н< (а⁷).
• 4. Найдите все факторгруппы циклических групп порядков 7—10.
• 5. Найдите все факторгруппы групп подстановок S₃ и S₄.
• 6. Выясните, что геометрически представляют собой смежные классы аддитивной группы комплексных чисел С по подгруппе R действительных чисел. Изобразите в прямоугольной системе координат смежные классы R, i + R и 2i + К. Найдите и изобразите суммы этих смежных классов.
• 7. Убедитесь, что в аддитивной группе С комплексных чисел множество Н = {х + kxi х е R} при фиксированном к е Ж является подгруппой. Какими точками в прямоугольной системе координат изображается эта подгруппа? Как изображаются смежные классы по этой подгруппе? Сформулируйте на геометрическом языке правило сложения смежных классов.
• 8. Докажите, что факторгруппа по центру не может быть циклической.
• 9. Представьте группу S₄ в виде объединения классов сопряженных элементов.
• 10. Докажите, что порядки сопряженных элементов равны.
• 11. Выясните, какие из следующих матриц сопряжены в соответ-
• (1 I] (3 1

ствующей группе обратимых матриц: М, =, М₂ =, М₃ =.

V^-1 1J v 1 V.

(2 1) [3 1

" «2 о} Ml 1/.

12. Рассмотрим множество К={ 1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}. Его элементы 1 и -1 будем называть действительными единицами, а остальные элементы — мнимыми единицами и считать, что i² =j² = k² = ijk = -1, всякая действительная единица перестановочна с каждой мнимой единицей. Составьте таблицу умножения элементов множества К и убедитесь, что получили группу (она называется группой кватернионов). Найдите порядок каждого элемента группы кватернионов, все ее подгруппы и нормальные подгруппы, все факторгруппы, представьте группу кватернионов в виде объединения классов сопряженных элементов.