Методы построения конечноразностных аппроксимаций

Приведенные выше соотношения для разностных производных строились на основе простой замены дифференциальных операторов конечными разностями. При всей своей наглядности этот метод не обладает необходимой общностью, поэтому для представления разностных производных используются и другие подходы, позволяющие повысить порядок аппроксимации, использовать несимметричный шаблон или определять разностные производные неявным образом из системы уравнений. Рассмотрим несколько таких подходов.

Искусственный метод. Для определения разностных представлений производных на равномерной сетке узлов представим искомую функцию в окрестности выбранного узла i в виде разложения в ряд Тейлора:

Здесь для обозначения частных производных используется индексная запись: ди/дх = и_х и т. д.

Рассматривая (2.1) как систему уравнений для определения интересующих нас значений первой и второй производной в узле г, получим решение в виде.

Нетрудно видеть, что данный метод можно развить как для получения односторонних представлений разностных производных, так и для повышения порядка аппроксимации.

Интерполяционный метод. Можно предложить метод построения разностных соотношений для производных на основе следующего подхода. Для выбранного шаблона набора точек, в которых определены значения функции, строится интерполяционный полином (например, полином Лагранжа). Далее этот полином дифференцируется, и полученная таким образом производная определяется в конкретной точке сетки. Увеличивая число точек, участвующих в построении интерполяционного полинома, можно повысить порядок аппроксимации, а произвольно выбирая базовую точку, получить центрированные или односторонние представления производных.

Предоставив читателю проверку данного подхода, изложим близкий к нему метод, который можно рекомендовать для получения разностных производных различного порядка точности на произвольных шаблонах.

Метод неопределенных коэффициентов. Опишем этот метод на примере получения односторонней разностной производной второго порядка. Представим разностную производную в узле i в виде линейной комбинации значений сеточной функции в трех узлах.

?, i -f- 1, i -f- 2 :

Такой шаблон определяет правую одностороннюю производную. Вопросительный знак означает, что нам предстоит, наряду с определением коэффициентов, установить и порядок аппроксимации.

Разложим входящие в правую часть сеточные функции в узлах гf 1 и г + 2 в ряды Тейлора:

Подставляя эти значения в правую часть (2.2), получим.

Сравнивая это соотношение с (2.2), видим, что оно может представлять производную в узле г при выполнении условий.

Разрешая эту систему уравнений, определим значения коэффициентов и получим следующее разностное представление правой односторонней производной со вторым порядком аппроксимации:

Аналогичные выкладки для левого одностороннего шаблона да.

ют Данный метод может быть распространен как для представления первых производных на различных шаблонах, так и для вычисления высших разностных производных.

Производные на трехточечном шаблоне. Как видно из изложенного, для одной и той же производной можно дать различные разностные представления, различающиеся порядком аппроксимации, видом разностного шаблона и т. д. Наряду с этим одно и то же разностное выражение может интерпретироваться как аппроксимация производных для разных точек сетки и порядков аппроксимации. В качестве иллюстрации приводятся возможные разностные аппроксимации на трехточечном шаблоне с узлами г — 1, г, г + 1 на равномерной сетке с шагом h (рис. 2.7).

Компактные разности. В общем случае, для того чтобы первая производная была представлена разностным выражением с порядком аппроксимации к, необходимо, чтобы разностный шаблон включал в себя к + 1 точку. Так, первая производная на трехточечном шаблоне имеет второй порядок аппроксимации. В формулах этого вида искомая производная явно выражается через значения сеточной функции в узлах шаблона.

Рис. 2.7. Аппроксимация первой производной на трехточечном.

шаблоне Возникает вопрос: имеется ли возможность повысить порядок аппроксимации, не расширяя разностный шаблон? Оказывается, это возможно, но за счет особого способа представления производных, называемого неявным. В этом случае одно разностное соотношение связывает несколько искомых производных, и их индивидуальное определение возможно лишь из совместного решения системы уравнений, связывающих эти соотношения для всех узлов сетки. Это является ценой повышения порядка аппроксимации на ограниченном сеточном шаблоне. Такие представления производных называются схемами повышенного порядка аппроксимации на ограниченном разностном шаблоне, а в последнее время за ними закрепилось название компактные разности .

Рассмотрим построение компактных разностей для первой производной на трехточечном шаблоне. Будем полагать, что производные и сеточные функции в узлах шаблона связаны между собой линейным соотношением.

с неизвестными коэффициентами, подлежащими определению. Выпишем разложения в ряды функций и производных:

Подставляя эти разложения в (2.5) и приравнивая к нулю коэффициенты при производных и функции в центральном узле, получим однородную систему соотношений для определения коэффициентов неявной формулы (2.5). Эта система разрешается при введении произвольного параметра /3 = b-i/bi. Полученное однопараметрическое семейство будет иметь вид (2.6). Здесь в одном алгебраическом выражении связаны три значения сеточной функции с тремя значениями разностной производной:

Ошибка усечения этого выражения имеет вид.

Видно, что при , в = 1 мы получим соотношение с четвертым порядком аппроксимации, при любом же другом значении /3 эта формула будет иметь третий порядок точности.