Линейные системы. 
Дифференциальные и разностные уравнения

Векторная запись линейной системы. Существование и единственность решения

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется линейной, если ее правая часть линейна относительно фазовых переменных. Достаточно изучать линейные нормальные системы, потому что при преобразовании общей линейной системы к нормальной линейность сохраняется.

Рассмотрим линейную нормальную систему.

где p^Jj, qe C (I, Y), i = 1,…, п, j = 1,…, п 1 — интервал на вещественной оси; Y = Е или С. Удобно перейти к матричной записи.

где P (t)-{pl}jj_=i «, q (t.) — вектор-столбец свободных членов,.

P (t), q (t) заданы и непрерывны на / с1.

Из глобальной теоремы существования и единственности решения задачи Коши (теорема 2.6) и теоремы о максимально продолженном решении почти линейной системы (теорема 2.9) вытекает следующая теорема.

Теорема 3.1 (существования и единственности решения задачи Коши для и-мерной линейной системы). Какую бы начальную точку (ф; г/₀) е G = - I х у" для задачи Коши мы ни взяли, существует единственное решение соответствующей задачи Коши, определенное на интервале I. Более того, любое другое решение этой задачи Коши является сужением указанного решения на меньший интервал.

Замечание 3.1. Другими словами, задача Коши для линейной системы имеет решение на интервале непрерывности коэффициентов и свободного члена.

Рассмотрим пример, показывающий, что, например, для уравнения Бернулли дело обстоит иначе. Уравнением Бернулли называется уравнение вида.

Пример 3.1.

Рассмотрим следующую задачу Коши. Дано уравнение Бернулли.

и начальные условия у (0) = 2. Интервалом, на котором непрерывны все коэффициенты рассматриваемого уравнения и его правая часть, является вся вещественная ось, т. е. (-«о; +">). Нетрудно убедиться, что решением данной задачи Коши является функция.

Однако это решение существует только на интервале (-; 1п2).