Исследовать вариацию признака X, найдя для этого числовые характеристики (выборочное среднее, среднее квадратическое отклонение, коэффициент линейной вариации, асимметрию и эксцесс)

Расчёты будут производится по данным Таблица 2 на 5стр.

Выборочной средней величиной называют среднее взвешенное арифметическое значение признака совокупности. Эта величина характеризует типичный уровень признака для данного ряда:

где m — число групп.

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения:

Коэффициент линейной вариации определяет однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному) при отсутствии других нормативов:

для этого вычислим среднее линейное отклонение:

Отсюда также видно, что среднее квадратическое отклонение по величине больше среднего модуля отклонений. Разница между ними тем больше, чем больше в изучаемой совокупности резких, выделяющихся отклонений. Для закона нормального распределения отношение. В нашем примере:.

Для дальнейшего изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели называются центральные моменты распределения определённого порядка. Порядок соответствует степени, в которую возводятся отклонения.

Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Асимметрия:

Для этого вычислим величину центрального момента третьего порядка:

Асимметрия имеет отрицательное значение, соответственно в ряду распределения преобладают варианты, которые меньше, чем средняя, то есть ряд отрицательно асимметричен. Графически же, более длинная ветвь графика расположена слева от вершины (левосторонняя скошенность). Асимметрия незначительна, так как 0,0140,25.

Эксцесс. При оценке крутизны (заострённости) в качестве эталонного выбирается нормальное распределение, которое сравнивается с фактическим и вычисляется показатель эксцесса распределения:

Для этого вычислим величину центрального момента четвёртого порядка:

Ex 0, значит, полученный график будет ниже графика нормального распределения (низковершинное распределение).

По значениям показателей асимметрии и эксцесса распределения можно судить о близости распределения к нормальному. Показатели асимметрии и эксцесса не должны превышать своих двукратных средних квадратических отклонений, то есть и. Эти средние квадратические отклонения вычисляются по формулам:

Получается:

Показатель асимметрии не превышает своего двукратного среднего квадратического отклонения (As = |- 0,07| < 0,1982). То же и с показателем эксцесса Ex = |- 0,778| < 0,788 (0,3942). Поэтому можно говорить, что анализируемое распределение схоже с нормальным.