Понятие аксиомы. 
Математика: логика, теория множеств и комбинаторика

Наряду с понятием теоремы в математике используется понятие аксиомы. Аксиома — это тоже истинное предложение, однако оно считается истинным по определению.

История понятия аксиомы берет начало с Древней Греции. Изначально аксиома понималась как очевидно истинное утверждение. Однако по мере развития математики вопрос об очевидности стал некорректен. Дело в том, что в аксиоме говорится о каких-то объектах, связанных какими-то отношениями. Записав аксиому на языке формул, мы получаем абстрактное предложение, которое может превратиться как в истинное, так и в ложное высказывание в зависимости от того, что мы будем понимать под объектами и отношениями, обозначаемыми в аксиоме определенными символами.

Пример 4.4.1. Рассмотрим одну из аксиом школьного курса геометрии: «Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна». Это предложение выбрано в качестве аксиомы в силу интуитивного понимания того, что такое точка и прямая.

Запишем сформулированное предложение символически. Пусть переменные х и у обозначают точки, переменная / - прямую. Предложение «х

и у — различные точки" обозначим А (ху), а предложение «Прямая / проходит через точки х и у» — В (х, у, Г).

Тогда аксиома будет иметь следующий вид:

Отвлечемся теперь от того, что мы понимаем под прямой. Допустим, что термин «прямая» означает для нас окружность. Переформулируем предложение, считая, что переменная / обозначает окружность, а все остальные символы интерпретируем в обычном смысле: «Через любые две различные точки проходит окружность, и притом только одна». Нетрудно видеть, что это предложение ложно, так как через две точки можно провести бесконечно много окружностей.

Видим, что для одной интерпретации математической теории аксиома как формула может являться истинным высказыванием, а для другой — ложным высказыванием. •.

Итак, аксиома математической теории — это предложение, принимаемое в данной теории как истинное. Вопрос о доказательстве аксиомы не ставится.

Выбор системы аксиом происходит так, чтобы в них были отражены основные свойства той области знаний, которую требуется описать на математическом языке. Аксиому можно проинтерпретировать, проиллюстрировать на примере, показать необходимость се выбора, но нс доказать.

Аксиомы представляют собой базовые утверждения, своего рода фундамент того или иного раздела математики. Необходимость такого фундамента понять несложно. Для того чтобы доказывать теоремы, нужно последовательно опираться на верные предложения, но эта цепочка не может быть бесконечной. Аксиомы служат отправной точкой в цепочке доказательств.

Осмысление рассмотренного в этом пункте материала нс сиюминутный процесс, он требует времени. Вообще, понимание многих идей, лежащих в основе математики, происходит параллельно с изучением различных математических дисциплин. Поэтому на данном этапе мы нс будем более подробно останавливаться на сущности аксиоматического метода в математике. Отметим лишь, что список аксиом, на основе которых можно построить школьный курс планиметрии, приведен, например, в учебнике [1] в качестве приложения.