Решение уравнений и систем

Рассмотрим широкий класс задач общей теории приближенных методов. Пусть дано уравнение.

где А — некоторый оператор (абстрактная функция) с областью определения D (A) и областью значений R (A); Ъ — заданный элемент из Я (А). Требуется определить х — элемент из D (A).

В практических приложениях эта задача редко может быть решена точно и с использованием прямых методов — методов сведения исходной задачи к конечномерным задачам и точного их решения (безучета ошибок округления). В этой связи речь обычно идет о нахождении х — близких в некотором смысле к х объектах, т. е. х ~ х. При этом важно оценить погрешность 8 = ||х — х|| как меру удаления полученного результата х от искомой величины х.

В математической науке разработано огромное число методов и модификаций решения этого класса задач. При этом схема большинства из них одинакова: из области определения выделяют некоторые подобласти, где находятся корни уравнения, затем применяют различные механизмы (собственно приближенные методы), которые позволяют уточнить значение корней до получения требуемой точности.

Следуя сложившейся практике, ниже рассматриваются задачи приближенного решения нелинейных уравнений, затем систем линейных уравнений и, наконец, систем нелинейных уравнений.