Расчет статически неопределимых систем методом сил

В результате освоения данной главы студент должен:

знать

• • общую идею расчета статически неопределимых расчетных схем методом сил;
• • способы определения степени статической неопределимости и выбора основных систем метода сил;
• • общую последовательность расчета статически неопределимых расчетных схем методом сил;
• • общие принципы упрощений при расчете симметричных расчетных схем методом сил;

уметь

• производить расчеты статически неопределимых систем методом сил от различных воздействий;

владеть

• навыками рационального выбора основных систем методом сил.

Свойства статически неопределимых систем. Степень статической неопределимости

Как было указано в параграфе 3.1, к статически неопределимым системам относятся такие расчетные схемы, в которых при действии произвольной нагрузки не все реакции и внутренние силы могут быть определены из уравнений равновесия. Это системы, содержащие избыточное для обеспечения их геометрической неизменяемости число связей.

Следовательно, число избыточных связей, удаление которых превращает систему в статически определимую и оставляет геометрически неизменяемой, называется степенью статической неопределимости.

Таким образом, степень статической неопределимости п_с связана со степенью свободы расчетной схемы W (см. параграф 1.5) зависимостью.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Формула (13.2) имеет четко выраженный статический смысл. Действительно, для каждого диска расчетной схемы можно составить три уравне;

Для плоских расчетных схем на основании зависимости (13.1) и формулы (1.2) степень статической неопределимости может быть определена по формуле ни я равновесия. Следовательно, если расчетная схема содержит Д дисков, то общее число уравнений равновесия будет ЗД. Величина С — число связей, реакции в которых подлежат определению, и при С > ЗД расчетная схема будет статически неопределима столько раз, какова разница между указанными величинами.

В расчетных схемах, содержащих жесткие соединения отдельных дисков, образующих на плоскости замкнутые контуры, вместо (1.2) используют общую зависимость (1.1), что не всегда удобно. Для практических расчетов применяют другую формулу, пригодную для любых рамных и балочных систем, а именно.

где К — число замкнутых контуров расчетной схемы (в том числе между расчетной схемой и основанием); Ш — число простых шарниров (или связей, недостающих до полного защемления) расчетной схемы.

Статический смысл формулы (13.3) состоит в следующем. Любой бесшарнирный замкнутый контур является трижды статически неопределимым (рис. 13.1, а). Постановка (врезка) одного простого шарнира удаляет одну связь, т. е. понижает степень статической неопределимости на единицу (рис. 13.1, 6). Таким образом, в формуле (13.2) 3К — степень статической неопределимости расчетной схемы в предположении, что в ней полностью отсутствуют шарниры (все связи — полное защемление), а Ш — на какую величину понижена степень статической неопределимости из-за наличия шарниров.

Рис. 13.1.

Применение формул (13.2) и (13.3) покажем на примере рамы, изображенной на рис. 13.2, а.

Рис. 13.2.

1. Используем формулу (13.2). Число опорных связей С_оп = 5. Для определения числа шарниров удалим опорные связи (на рис. 13.2, б они условно показаны пунктирными линиями). Тогда, в узле Е Ш = 1, в узле С Ш = 2 и в узле D III = 1. Итого, число простых шарниров Ш = 4. Число дисков Д = 3.

Следовательно, п_с = (5 + 2 • 4) — 3 • 3 = 4.

2. Для облегчения использования формулы (13.3) покажем в узле С раздельно шарниры, соединяющие диски расчетной схемы, и линейную опорную связь; в узле D шарнирно неподвижную опору изобразим в виде примыкающего к основанию кратного шарнира (что одно и то же). Кроме этого, обозначим все части плоскости на расчетной схеме, окруженные со всех сторон дисками и основанием (замкнутые контуры).

Таким образом, число замкнутых контуров К = 5, число простых шарниров Ш = 11. Получение последней цифры рассмотрим подробнее по узлам.

Узел А имеет шарнирно подвижную опору. Следовательно, число связей, недостающих до полного защемления, Ш = 2.

Узел Е имеет число Ш = 1, т. е. это простой шарнир, соединяющий два диска.

Узел С имеет два простых шарнира, соединяющие три диска схемы, и две связи, недостающие до полного защемления в шарнирно подвижной опоре.

Узел D имеет два примыкающих к основанию шарнира.

Узел F имеет Ш = 1 по аналогии с узлом А.

Итого по всем узлам расчетной схемы 111 = 2+ 1 + 4 + 2 + 2 = 11.

Следовательно, п_с = 3 • 5 — 11=4.

Примечание. Определение числа простых шарниров в узлах со сквозными и примыкающими шарнирами см. в подпараграфе 1.3.1, рис. 1.7 и 1.8.

Степень статической неопределимости ферм на основании (1.6) и (13.1) определяется по формуле.

Формула (13.4), так же как и предыдущие, имеет четко выраженный статический смысл. В этом случае С — число опорных реакций и усилий в стержнях фермы, подлежащих определению, а 2У — число уравнений равновесия, которые можно составить для всех узлов фермы, включая опорные. Разница между этими величинами и дает степень статической неопределимости.

В зависимости от образования расчетной схемы можно различать внешне и внутренне статически неопределимые системы, хотя, как выяснится из дальнейшего, это разделение является условным.

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет в качестве избыточных только внешние связи, т. е. лишние опорные закрепления. Примером такой системы может служить рама, изображенная на рис. 13.3, а. Жесткое соединение всех стержней рамы представляет собой один диск, для прикрепления которого к основанию достаточно трех связей. Рама имеет восемь опорных связей: три — в опоре А, по две — в опорах В и С и одну — в опоре Д т. е. пять связей — избыточные, и рама пять раз статически неопределима.

Рис. 13.3.

Внутренне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет минимально необходимое число опорных связей, а все избыточные связи принадлежат соединениям внутренних элементов расчетной схемы. На рис. 13.3, б изображены трижды статически неопределимые рамы, прикрепленные к основанию только гремя связями, т. е. внешние связи в этих рамах не могут являться избыточными.

Отметим основные свойства статически неопределимых систем.

• 1. Статически неопределимые системы, но сравнению со статически определимыми более жесткие, т. е. при одинаковых нагрузках перемещения в них значительно меньше.
• 2. В расчетных сечениях элементов статически неопределимой системы усилия меньше, чем в статически определимых при той же нагрузке.

Рис. 13.4

На рис. 13.4 а, б показаны трехпролетная шарнирно-консольная балка и неразрезная балка с таким же числом пролетов. Обе балки загружены одинаковой нагрузкой в первом пролете. Наибольшим изгибающим моментом в шарнирно-консольной балке является М⁽ действующий в сечении, где приложена сила F. В том же сечении неразрезной балки расчетный изгибающий момент М_р < Л/⁶. Аналогичное сравнение прогиба балок в точке приложения силы показывает, что Д₂ < A_t.

• 3. Статически неопределимые системы обладают распределительной способностью: локальная нагрузка вызывает появление усилий во всех сечениях расчетной схемы, значения которых уменьшаются по мере удаления от места приложения нагрузки. В статически определимых системах локальная нагрузка может вызвать лишь локальное появление усилий (сравните эпюры М на рис. 13.4, а и б).
• 4. Статически неопределимые системы более надежны, нежели статически определимые: выход из строя одного из элементов расчетной схемы еще не исчерпывает их несущей способности и при определенных условиях не приводит к обрушению.

Например, удаление опорной связи D в перазрезной балке (рис. 13.4, в) не приводит к обрушению конструкции, в то время как удаление такой же связи в шарнирно-консольной балке приводит к мгновенной изменяемости части расчетной схемы.

• 5. Статически неопределимые конструкции проще в изготовлении и просты в эксплуатации, так как конструкция любого шарнира сложнее, чем жесткое соединение.
• 6. При наличии начальных деформаций (теплового воздействия, неравномерной осадки опор и неточности изготовления элементов конструкции) в статически неопределимых системах возникают усилия из-за наличия избыточных связей, препятствующих свободному развитию этих деформаций. Возникающие при этом усилия прямо пропорциональны жесткости элементов статически неопределимой системы.

Рис. 135

На рис. 13.5 а, б показаны примеры одноиролетных балок, статически определимых и статически неопределимых при действии осадки опор и тепловом воздействии.

7. Статически неопределимые конструкции, как правило, более экономичны, нежели статически определимые, во-первых, за счет меньших размеров поперечных сечений, во-вторых, за счет простоты изготовления.