Разностная аппроксимация дифференциальных операторов

Следуя намеченном}' пути построения разностной схемы, необходимо заменить производные, содержащиеся в уравнении, разностными отношениями. Обозначим через А_х разностную аппроксимацию производной ди/дх. В отличие от математического анализа разностная аппроксимация может быть введена разными способами:

Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производной можно взять линейную комбинацию двух первых выражений:

Нетрудно убедиться, что в приведенном выражении содержатся все три предыдущих случая. Возможность применения различных аппроксимаций позволяет конструировать разностные схемы с различными свойствами.

Рассмотрим вопрос о погрешности разностной аппроксимации первой производной. Для этого разложим в ряд Тейлора функцию.

щ+1 и щ в окрестности точки Х{. Для правой разностной производной.

Преобразуя эго соотношение, получим.

Символическая запись 0(h) означает выражение, имеющее тот же порядок малости, что и И. В математике используется, кроме этого, и символ o (h), означающий, что выражение имеет более высокий порядок малости, чем h. Данные символы читаются как «о большое» и «о маленькое» и используются в аппроксимационных выражениях для оценки порядка отброшенных членов.

Будем говорить, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный с порядком m в точке х, если разность их значений в точке х есть 0(h^m). Таким образом, правая и левая разностные производные имеют первый порядок аппроксимации.

Для центральной разностной производной получим.

или таким образом, в этом случае имеем второй порядок аппроксимации.

Перед тем как перейти к разностному представлению второй производной, заметим, что правая разностная производная, имеющая первый порядок аппроксимации для точки может рассматриваться как центральная разностная производная для точки #,+½.

со вторым порядком аппроксимации. Исходя из этого вторую разностную производную можно представить следующим образом:

Анализ точности, аналогичный изложенному, показывает, что в этом случае мы имеем второй порядок аппроксимации:

В случае неравномерной сетки вторая разностная производная может быть определена как.

но из-за неравномерности шагов она будет иметь первый порядок аппроксимации.