Метод аналитической иерархии

Предложенный американским специалистом в области исследования операций Томасом Саати метод аналитической иерархии (analytic hierarchy process; другой вариант русского перевода — метод анализа иерархий) оказался одним из наиболее востребованных методов принятия решений при многих критериях.

В основе методики лежат две идеи. Первая — это идея иерархической декомпозиции системы критериев. Вторая — идея перехода от непосредственной оценки важности отдельных критериев и качества альтернатив с точки зрения критериев к сравнительной попарной оценке критериев и альтернатив. Рассмотрим их на примере простейшей иерархии (рис. 4.1).

Смысл идеи иерархии здесь состоит в следующем. Выделены одна глобальная, две локальные цели и по три критерия, выражающие степень реализации каждой из локальных целей. Обе локальные цели оцениваются с точки зрения глобальной цели (в какой мере каждая их них важна для реализации последней). Все критерии оцениваются с точки зрения соответствующей локальной цели (в какой мере они ее отражают). Затем каждая из трех альтернатив оценивается с точки зрения каждого из критериев (в какой мере она ему соответствует). Таким образом, у нас должно быть в данном случае 18 оценок альтернатив, плюс шесть оценок значимости критериев, плюс две оценки важности локальных целей. После того как все оценки получены, «снизу вверх» начинается расчет. Веса критериев вычисляются путем умножения значимости критерия на важность локальной цели, на которую «работает» данный критерий. Интегральные оценки альтернатив находятся последующей схеме: оценка альтернативы по каждому критерию умножается на вес критерия, и все оценки данной альтернативы складываются. Поскольку оценки всех элементов иерархии на каждом ее уровне нормируются (т.е. в сумме дают единицу), то и интегральные оценки альтернатив тоже в сумме будут давать единицу. Выбира;

Рис. 4.1. Пример иерархии

ется альтернатива, имеющая максимальную интегральную оценку.

Идея попарного сравнения работает так. Каждая из необходимых нам в рассматриваемом примере 26 оценок получается в результате следующей процедуры. Элементы иерархии одного уровня, связанные с одним вышестоящим узлом, сравниваются попарно между собой. Результаты сравнения заносятся в квадратную таблицу (матрицу) размера л х п, где л — число элементов иерархии на данном уровне. Поскольку в каждой паре сравнение достаточно произвести только один раз (если в результате сравнения первой локальной цели со второй выяснилось, что первая локальная цель важнее, нет необходимости сравнивать вторую с первой) и результат сравнения любого элемента иерархии с ним же самим очевиден, то всего на каждом уровне иерархии придется провести п (п — 1)/2 сравнений. В нашем примере лицу, принимающему решение, пришлось бы осуществить 25 попарных сравнений (нужно одно сравнение для локальных целей; по три — для критериев, соответствующих каждой из двух локальных целей; по три — для альтернатив по каждому из шести критериев). При проведении сравнений используется числовая шкала, представленная в табл. 4.4.

Таблица 4.4. Шкала попарных сравнений в методе аналитической иерархии.

Обратите внимание, что в соответствии с идеями, рассмотренными в главе 3, утверждается, что получаемые таким способом оценки являются количественными. Если, по мнению эксперта, соотношение между сравниваемыми элементами иерархии носит промежуточный характер между указанными в табл. 4.4 вариантами, то используются четные оценки: 2, 4, 6, 8. Наконец, если первый элемент иерархии уступает второму, то результат сравнения будет представлен обратными величинами: 1/3, 1/5, 1/7, 1/9. Таким образом, элементы матриц, построенных по результа-там попарных сравнений, симметричные относительно главной диагонали, будут обязательно взаимно обратными.

Из полученной матрицы оценок элементов иерархии данного уровня рассчитываются как элементы ее собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению. Логика, в соответствии с которой в качестве весов берутся именно эти параметры, такова. Пусть … w_n — оценки элементов иерархии (веса критериев), оцененные по шкале от 1 (самый неважный) до 9 (самый важный). Тогда матрица попарных сравнений критериев при условии идеально логичного поведения ЛПР должна была бы выглядеть так:

С точки зрения математика, это — очень специфическая матрица. Все ее строки пропорциональны друг другу. Каким образом из этой матрицы можно получить сами веса 1/^ … w_n? Нетрудно видеть, что для этого нужно матрицу А умножить на вектор w = (w^… w_n). Имеем.

Это уравнение можно переписать в виде.

С математической точки зрения это означает, что вектор весов w есть собственный вектор матрицы Л, соответствующий собственному значению п. Структура матрицы А такова, что ее максимальное собственное значение равно л, а все остальные значения равны нулю. Компоненты вектора w могут быть вычислены с помощью простых формул:

Заметим, что уравнение (4−2) — это не что иное, как формула вычисления так называемого среднего геометрического — стандартная операция, которая входит в библиотеку встроенных функций Microsoft Excel. Поэтому реализация метода аналитической иерархии каких-либо специфических вычислительных сложностей не таит.

Однако все это справедливо лишь при условии, что лицо, принимающее решение, действует абсолютно логично. На практике это, разумеется, не так, в результате чего матрица А приобретает несколько иной вид и свойства. Речь идет о следующем. Предположим, ЛПР утверждает, что критерий 1 значительно превосходит по важности критерий 2, а критерий 2 равен по важности критерию 3. Каков должен быть результат сравнения по важности критерия 1 и критерия 3? Вопреки, казалось бы, очевидному на практике часто оказывается, что ЛПР утверждает, что критерий 1 лишь умеренно превосходит по важности критерий 3. Дело тут не в неразумности ЛПР, а в том, что в процессе попарных сравнений ему не удается держать в памяти все свои предыдущие ответы и в ходе опроса он постоянно корректирует, переоценивает свои предыдущие суждения. Поэтому максимальное собственное значение матрицы А оказывается несколько большим п, а это и является индикатором нарушения логики в ответах ЛПР. Следует отметить, что трудность, с которой мы здесь сталкиваемся, является оборотной стороной эффективного принципа декомпозиции: сложную задачу непосредственной оценки критериев и альтернатив мы заменили множеством относительно простых задач их сравнительной (попарной) оценки. При «обратной сборке» полученных ответов на частные простые вопросы и возникает та самая трудность.

Нахождение собственных векторов и собственных значений— это классическая задача вычислительной математики, эффективные методы решения которой хорошо известны. Для матрицы рассчитывается ее фактическое максимальное собственное значение А_тах и так называемый индекс однородности (т.е. непротиворечивости) ИО суждений ЛПР:

Найденное значение индекса однородности сопоставляется со средним его значением для матриц данного размера. Эти средние значения получены в результате компьютерного моделирования произвольных (совершенно не ограниченных логикой) ответов ЛПР на вопросы о попарном сравнении элементов. Если индекс однородности составляет не более 10% от среднего значения индекса, то результаты попарных сравнений считают приемлемыми. В противном случае ЛПР предлагают пересмотреть свои ответы.

Процесс отыскания собственных векторов не должен быть пугающе сложным для ЛПР. Для него вся эта процедура, составляющая внутреннюю механику метода аналитической иерархии, невидима.

Помимо изящных идей иерархической декомпозиции задачи принятия решения и перехода от непосредственной оценки к попарному сравнению, успеху метода аналитической иерархии в очень большой степени способствовала компьютерная реализация методики — программа Expert Choice¹. Благодаря дружественному интерфейсу и предоставляемым возможностям групповой работы и обмена данными со стандартными приложениями Microsoft Office программа Expert Choice получила широкое распространение. В частности, она использовалась в таких компаниях, как ABN Агаго, Allianz Life, America Online, Ford Motor Company, General Electric, General Motors, Hewlett Packard, IBM, John Hancock, Lockheed Martin, Mayo Collaborative Services, а также National Association ot Counties, National Association of Home Builders.

Типичные области применения данной методики — это распределение ресурсов; бенчмаркинг; наем, оценка и продвижение персонала; оценка слияний и поглощений; управление качеством; реструктуризация; реинжиниринг бизнес-процессов; оценка инвестиций; стратегическое планирование.

Значительный, в том числе коммерческий, успех метода не позволяет, однако, закрывать глаза на проблемы, с ним связанные. В последнее время вышел ряд работ, прежде всего, выполненных профессором В.В. Подиновским^[1][2], которые указывают на эти проблемы.

Рассмотрим такой пример. Пусть нам необходимо ранжировать по предпочтительности четырех кандидатов на должность. Каждый из кандидатов был оценен по двум критериям, принимаемым во внимание при решении вопроса. Оценки кандидатов по критериям сведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5. Оценки кандидатов по критериям.

Попробуем применить для решения этой простой задачи алгоритм метода анализа иерархий. При этом сделаем следующие дополнительные допущения. Будем предполагать, что критерии оценки кандидатов совершенно равнозначны по важности, а относительно результатов попарного сопоставления представленных в вышеприведенной таблице оценок предположим следующее: оценка «отлично» превосходит оценку «хорошо» в 2 раза, а оценка «хорошо» в свою очередь превосходит оценку «удовлетворительно» в 4 раза. В этом случае результаты попарных сравнений кандидатов по нашим двум критериям будут таковы (табл. 4.6).

Таблица 4.6. Оценки кандидатов по критерию № 1.

Таблица 4.7. Оценки кандидатов по критерию № 2.

Рассчитаем теперь средние геометрические по строкам матриц и нормируем их в соответствии с формулами (4−2) и (4−3). Получим такие оценки по кандидатам. По критерию 1: кандидат № 1−0,380 952 381; кандидат № 2−0,47 619 048; кандидат № 3−0,19 047 619; кандидат № 4−0,380 952 381.

По критерию 2: кандидат № 1 0,235 294 118;

кандидат № 2 0,470 588 235;

кандидат № 3 0,235 294 118;

кандидат № 4 0,58 823 529.

Теперь по общему правилу надо было бы сопоставлять по важности критерии, но в нашем случае их всего два и известно, что они равны по важности. С учетом этого можно просто найти средние по двум последним таблицам оценки для каждого кандидата. Это дает такой результат: кандидат № 1 0,308 123 249;

кандидат № 2 0,259 103 641;

кандидат № 3 0,212 885 154;

кандидат № 4 0,219 887 955,.

что в условиях рассматриваемой задачи представляется очевидно парадоксальным. В самом деле. Если критерии равны по значимости, го кандидаты 2 и 4 хороши в совершенно одинаковой степени. Но результаты наших расчетов по методу анализа иерархий говорят иное. Таким образом, метод аналитической иерархии в данном случае решает задачу ранжирования кандидатов неправильно.

Почему это произошло? Коротко говоря, это произошло потому, что вычисление оценок альтернатив (в примере — кандидатов на должность) по отдельным критериям происходит независимо, что приводит к искажению исходного постулата о равной важности критериев. Распределение оценок по критериям различно, что в итоге и привело к странному несимметричному результату. Строгое объяснение феномена можно найти в упомянутой работе В. В. Подиновского и О. В. Подиновской.

Авторы методики аналитической иерархии предложили ее обобщение и развитие в форме так называемого метода анализа сетей (в отличие от иерархий) — Analytic Network Process, имея в виду обеспечение возможности учета зависимостей между критериями. В то же время работы российских ученых выявили существенные бреши в традиционной версии методики.

• [1] Так называемая пробная версия программы Expert Choice может быть загружена с сайта производящей ее компании, созданной Т. Саати с сотрудниками: www.expertchoice.com/so.
• [2] Подиновский В. В., Подиновская О. В. О некорректности метода анализа иерархий. Проблемы управления. № 1. 2011. С. 8−13.