Применение моментов для вычисления статистических характеристик связи

Для изучения связи между двумя случайными величинами применяют моменты произведений.

Выборочный момент произведения n-го порядка определяется как величина.

где — частоты наблюденных значений х_х и у,; п — общее число членов выборки; а_х и а_у — произвольные значения.

Если а_х и а_у — начальные значения, то получаются начальные выборочные моменты произведения v₁₇₁, v_2/1, v_]/2, v_2/2 и т. д. Приравняв а_х = х и а_у = у, т. е. выборочным средним значениям, получим центральные выборочные моменты произведения Pj/1, Ц₂/1' Й½> И2/2 ^{и Т}-Д;

Для нахождения выборочного коэффициента корреляции г_к вычисляют первый начальный выборочный момент произведения v₁₇₁.

Этот момент в виде, удобном для подсчетов по корреляционной таблице (типа табл. 1.24), вычисляют по формуле.

где а_х и а_у — начальные значения; с_х и с_у — цены разрядов х₍

и у,.

Выборочный коэффициент корреляции.

где Vj (x) — первый начальный; р₂(х) — второй центральный выборочные моменты, а Vj (y) и р₂(у) — аналогичные моменты.

Подсчеты можно ограничить формулами (а)—(g), (к) и (/) табл. 1.20.

Пример 1.45

Определить тесноту корреляционной связи двух размеров X и Y детали, номинальное значение которых равно соответственно 50 и 100 мм.

Корреляционная табл. 1.24 содержит исходные данные — частоты п_ху и представителей разрядов х, и у, (см. табл. 1.23). Цены разряда с_х = 0,02 мм (для х,) и с_у = 0,07 (дляу,).

Значения разрядов будут:

• • для х, от 50,03 до 50,05; от 50,05 до 50,07 и т. д.; последний разряд 50,17 до 50,19 мм;
• • для у, от 100,37 до 100,44; от 100,44 до 100,51 и т. д.; последний разряд 101,00 до 101,07 мм.

Табл. 1.23 содержит те же графы и строки, что и корреляционная табл. 1.22, но имеет дополнительные две графы и две строки.

В табл. 1.24 строка сверху и крайняя слева графа выполняются согласно указаниям для графы 3 табл. 1.22. За условное начало а принимается то значениеx_j илиу_;, которое ближе к выборочной медиане (а_х =50,10; а_у = 100,685).

Вторые дополнительные графа и строка предназначены для величин выборочных частных средних Y_x и Х_у

Значения Х_у для х_; и Y_x для у, определяют по формуле.

Например, для строки у₍ = 100,475:

Аналогично подсчитывают значения Y_x. Так, для первой графы^ = 50,04:

Чтобы найти выборочный коэффициент корреляции г_к, необходимо вычислить выборочный момент произведения v₁₇₁.

В соответствии с формулой (1.105) находим суммы произведений трех величин: частот (п_лу) и отклонений от условных начал а_х и а_у, вписанных в верхнюю строку и в крайнюю левую графу табл. 1.24. Полученную сумму по всем частотам следует разделить на общий объем совокупности (п = 340):

Таблица 1.24. Корреляционная таблица данных и y_i (в мм) в совокупности п — 340.

Остальные выборочные моменты вычисляют аналогично:

По формуле (1.106) выборочный коэффициент корреляции.

Применение моментов облегчает также подсчет выборочного корреляционного отношения г_у и ц_х, что очевидно из следующего примера.

Пример 1.46

Определить оценки тесноты корреляционной связи по выборочному корреляционному отношению г_х (т.е. x_t от у,) для данных предыдущего примера, а также уравнения связи су, иу, сх,. Вычисления г)_Л. приведены в табл. 1.25.

В графы 1 и 2 вносятся значения х_у и п_у из табл. 1.23. В графе 3 берется разность между величинами графы 1 их = 50,11 мм; последнее значение вычисляют для наблюденных величин x_jf пользуясь способом моментов по формуле (/с) табл. 1.20; это же значение вписано в правом нижнем углу табл. 1.24.

Таблица 1.25. Вычисления г_х по данным табл. 1.24

Числа графы 4 получены возведением в квадрат чисел графы 3, а числа графы 5 — перемножением чисел граф 2 и 4. Сумма чисел графы 5, деленная на п, является подкоренным выражением для S{X_y) по формуле (1.99):

Величину S_x находят также посредством моментов согласно формуле (1) табл. 1.22 для значений Xj. В нашем примере S_x = = 0,0310.

В соответствии с формулой (1.98).

Условие r > г_к выполнено, так как г_к = 0,431 (формула © примера 1.44); 0,463 > 0,431.

Близость г_к и ц_х говорит о том, что корреляция между Xj и у, — линейная.

Действительно, критерий линейности, найденный по формуле (1.100), подтверждает этот вывод:

При подсчете 0_Г и а_0г по формулам (1.101) и (1.102) принято S = 8, так как число разрядов Xj по табл. 1.24 равно 8; п = 340. Аналогично подсчитывается выборочное корреляционное отношение у, от Xj, т. е. г_у

Для нахождения корреляционного уравнения связи х, су" кроме известных из предыдущих вычислений X =50,11 мм и S_x = = 0,031 мм, находят способом моментов Y = 100,688 мм (см. табл. 1.24) и S_y = 0,105; г_к = 0,431.

Угловой коэффициент связи находится по формуле (1.104).

отсюда, пользуясь формулой (1.105), имеем.

Подсчитанные значения оказались следующими для 10 разрядов: 50,07; 50,08; 50,09; 50,10; 50,11; 50,12; 50,13; 50,13; 50,14.

и 50,15. Расхождение с значениями Х_у, приведенными в табл. 1.24, незначительное. Корреляционное уравнение связиу, сх_/ находится по тем же исходным характеристикам и имеет вид.

На рис. 1.19 нанесены точки значений х_у иу_Л. по табл. 1.24 (где индексы i и j опущены).

Рис. 1.19. Г рафик линейных корреляционных зависимостей у, от Xj и х_; от у, и линии значений х_у и у_х, проведенные по корреляционным уравнениям При корреляционном анализе необходимо учитывать реальные условия и механизм процессов производства, чтобы результат исследования отражал действительные закономерности в явлениях. В противном случае можно получить ошибочное представление о связи на основе формальной оценки по г_к или Г)_у и Г|_х