Верхняя граница для модуля коэффициента при z2 в разложении однолистной функции

Пусть w = f (z) = za >z2 /выполняет однолистное отображение круга |z|< 1. Тогда легко показать, что.

выполняет также однолистное отображение круга z < 1. Для этого докажем, что если F{z) = F{z₂)_t то необходимо z =z₂.

В самом деле, из равенства F (zi) = F (z₂) следует: [^to)]² = [^(г*)]² или f (Zj*) = f (Zx²). Так как f (z) — однолистная функция, то из последнего равенства вытекает: z{* = г₂^г_у т. е. либо z_x = z_2t либо z_l = — z₂. Последняя же гипотеза противоречит условию F (z_]) = F (z₂), потому что вследствие нечётности функции F (z) имели бы при этой гипотезе F (z_i) = — F (z₂). Таким образом, F (z) — действительно однолистная функция в круге |z|< 1.

Возможно то же самое обнаружить и другим путем. Посредством функции г³ круг |z|< 1 переходит в’двухлистный единичный круг с точкой разветвления при z = О, затем с помощью /(г¹) этог последний отображается на область, таким же образом разветвлённую вокруг z = 0. Наконец, при переходе к Vf U²) это разветвление устраняется.

Очевидно, что функция Ф © =-у-— однолистно отображает внешнюю область единичного круга | С | > 1 и имеет следующее разложение, справедливое при | С | > I:

Согласно внешней теореме площадей (п. 2) имеем: -i-1 а_г ^ 1, откуда | а₂1 ^2.

Итак, мы доказали предложение: если w = z -f a₂z³-f-… есть функция, голоморфная и однолистная в круге | z < 1, то | а_г | ^ 2.

Замечательным фактом является то обстоятельство, что эта граница не может быть улучшена. Действительно, она достигается функцией.

так как последняя функция отображает однолистно круг |г|<1 на область полная граница которой образована из сегмента действительной оси между — и — оо.

Чтобы это показать, достаточно вместо f (z) = —yJL— рассмотреть функцию ?© = —/ ' ⁼ «—j"~» = С + -j-г~ 2 ^и обнаружить, что она одно;

^f~) т

листно отображает | С I > 1 на область, полная граница которой образована из сегмента действительной оси между—4 и 0, что было уже показано в гл. XII, § 5, п. 3.