Основные реализации случайных процессов

«Уточним понятие СП, пишут авторы И, — и дадим ему математическую формулировку. Ограничимся пока одномерными СП, протекание которых сводится к одному числовому параметру X (t), меняющемуся во времени случайным образом».

Понятие случайного процесса представляет собой обобщение понятия случайной величины (СВ), которое уже известно из книги [6]. Напомним, как там определялась случайная величина (см. параграф 3.1 в [6]).

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение.

Далее в работе [7] дается формальное, теоретико-множественное определение случайного процесса как функции элементарного события, осуществляющегося в результате опыта и входящего в пространство элементарных событий О (со e С1). При этом возможные значения х СВ X принадлежат множеству 0 (х € 0). Случайным процессом Х ([) называется процесс, значение которого при любом фиксированном t = t₀ является случайной величиной X (t₀).

СВ X (t₀), в которую обращается СП при t = t₀, называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению аргумента t. В дальнейшем, говоря о сечении СП, мы не всегда будем отмечать нулевым индексом то значение аргумента t, которому оно соответствует, а будем по мере надобности говорить об одном и том же выражении то как о случайном процессе (при переменном t), то как о случайной величине (при фиксированном t) [7].

Можно СП записать в виде функции двух аргументов — времени t и элементарного события со:

где со — элементарное событие; Q — пространство элементарных событий; Т — область (множество) значений аргумента t функции X (t) 0 — множество возможных значений случайного процесса X (t).

Предположим, что опыт, в ходе которого СП протекает так или иначе, уже произведен, г. е. произошло элементарное событие со е Q. Это значит, что СП уже не случаен и зависимость его от t приняла вполне определенный вид: это уже обычная, неслучайная функция аргумента t. Будем ее называть реализацией случайного процесса X (t) в данном опыте.

Таким образом, реализацией случайного процесса X (t) называется неслучайная функция x (t), в которую превращается случайный процесс X{t) в результате опыта; другими словами — конкретный вид, принятый СП Х (1), который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до т (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Пример реализации случайного процесса.

Воспользовавшись формулой (2.1), запишем реализацию как функцию ф от аргумента t, изменяющегося в пределах множества Т, при фиксированном элементарном событии со = со₀:

Реализации СП очень часто встречаются на практике. Любая реализация случайного процесса x (t) принадлежит множеству 0 возможных значений случайного процесса X (t): x (t) € 0.

Например, если записать с помощью какого-то измерительного прибора напряжение U питания ЭВМ в зависимости от времени f на временном участке (0; т), то получим реализацию u (t) СП {/(f) (рис. 2.2, где U₀ — номинальное напряжение питания).

Рис. 2.2. Пример реализации случайного процесса:

1 — кривая и (гу, 2 — кривая 0(f).

Записывая температуру воздуха 0 в зависимости от времени f в течение суток, получим реализацию 0(f) СП 0(f) (см. рис. 2.2). Вообще, любая запись прибором-самописцем временной зависимости какого-либо параметра представляет собой реализацию того или другого СП. Если произведен не один опыт, а несколько, то в результате каждого из них наблюдается какая-то реализация СП x,(f) (г — номер опыта). Тогда получим несколько различных реализаций случайного процесса: Xj (f), x₂(t)…x,(t), …, или.

семейство реализаций (рис. 2.3).

Рис. 23. Семейство реализаций случайного процесса.

Семейство реализаций случайного процесса — это основной экспериментальный материал, на основе которого можно получить характеристики СП. Какие именно — мы увидим в дальнейшем. Семейство реализаций СП аналогично совокупности полученных в результате наблюдений значений СВ X, с той разницей, что здесь наблюдаются не числовые значения, а функции. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих введенные понятия. Производится п опытов, в каждом из которых регистрируется число X (t) отказов (сбоев) ЭВМ от начала работы до момента времени t. Наблюдения проводятся на участке времени от 0 до т. Случайный процесс X (t) принимает целочисленные значения 0, 1,2, 3, …, сохраняя их в промежутках между скачками, происходящими в моменты, когда имеем очередной отказ; его сечение X (t) при любом фиксированном t — дискретная случайная величина, множество возможных значений которой 0 = {0, 1,2, 3,.

Реализация x^t) случайного процесса X (t) в i-м опыте представляет собой неслучайную ступенчатую функцию, скачки которой единичной величины происходят в моменты времени t_i{, t_i2, t_j3, … (рис. 2.4). Реализации x_{(t), x₂(t), …, Xj (t), …, x_n(t) различны между собой (моменты скачков в общем случае не совпадают); изобразить на одном графике семейство реализаций трудно. Читателю предлагается мысленно наложить друг на друга п ступенчатых кривых типа изображенной на рис. 2.4, различающихся моментами скачков, но не их величиной, всегда равной единице.

Рис. 2.4. Реализация x,(t) случайного процесса в виде неслучайной ступенчатой функции Классифицировать скачки, но тем или иным признакам принято в теории случайных процессов. Принимают во внимание фиксированность или случайность моментов времени, в которые могут происходить скачки, плавность или скачкообразность реализации, вид закона распределения отдельного сечения процесса или совокупности его сечений и г. д. Познакомимся с самой элементарной классификацией случайных процессов — по времени и по состояниям. Неэлементарная классификация СП аналогична нашей классификации марковских процессов, приведенной в гл. 13.

Случайный процесс X (t) называется процессом с дискретным временем, если система (среда), в которой он протекает, может менять свои состояния только в отдельные моменты времени t_v t₂>…, tj,…, число которых конечно или счетно. Множество Тявляется дискретным.

Число процессов с дискретным временем велико. Рассмотрим некоторые примеры:

• 1) работа ЭВМ, она может менять свои состояния в моменты ?_lt t₂, …, tjy…, определяемые тактом ее работы;
• 2) процесс работы ТС, которая осматривается в моменты t_if t₂,… и трансформируется в результате осмотра из одной категории в другую;
• 3) процесс атаки на цель в моменты t_{, t₂> …" в его ходе цель может менять свои состояния (частично выведена из строя, не повреждена, перестала функционировать, полностью разрушена и т. п.).

В случае рассмотрения одномерного случайного процесса X (t) с дискретным временем в моменты ?_1? t₂,… его сечения в эти моменты образуют последовательность случайных величин X (t₂),… В качестве аргумента последовательности возможен выбор номера значения момента перехода: Х (), Х (2),…

Случайный процесс X (t) называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент наблюдаемого временного периода т. Для процесса с непрерывным временем множество Т моментов, в которые система может менять свое состояние, несчетно. Они непрерывно заполняют рассматриваемый участок оси абсцисс.

Некоторые примеры случайных процессов с непрерывным временем таковы:

• 1) X (t) — число отказов технического устройства от начала работы до момента t
• 2) броуновское движение частицы в поле зрения микроскопа;
• 3) число N (t) заболевших людей в некотором городе к моменту t в ходе развития эпидемии.

Одномерный случайный процесс X (t) называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент времени t представляет собой не дискретную, а непрерывную (или смешанную) случайную величину, а значит, множество ее значений 0 несчетно.

Многомерный (векторный) случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если при любом t множество возможных значений случайного вектора, определяющего состояние системы S, в которой протекает процесс, несчетно. Примеры СП с непрерывными состояниями:

• 1) напряжение U (t) питания ЭВМ в момент t
• 2) давление газа p (t) в заданном резервуаре в момент t
• 3) координаты X (t), Y (t) частицы, совершающей броуновское движение, в момент t (двумерный случайный процесс с непрерывными состояниями);
• 4) параметры, характеризующие в момент t состояние космической ракеты, выводимой на орбиту (многомерный случайный процесс с непрерывными состояниями).

Случайный процесс, протекающий в системе 5, называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени t множество его состояний 0 конечно или счетно, т. е. его сечение в любой момент времени t характеризуется дискретной случайной величиной X (t) (в многомерном случае — несколькими дискретными случайными величинами). Разумеется, все случайные процессы с качественными состояниями относятся к категории процессов с дискретными состояниями; сечение такого процесса представляет собой случайное событие — аналог дискретной случайной величины (см. [6, Введение |).

Из проведенного рассмотрения следует, что в зависимости от характера множества Тзначений аргумента t, в которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также множества 0 самих состояний все случайные процессы можно разделить на четыре класса:

• 1а) с дискретными состояниями и дискретным временем;
• 16) с дискретными состояниями и непрерывным временем;
• 2а) с непрерывными состояниями и дискретным временем;
• 26) с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Приведем примеры процессов разных типов.

• 1а. Некто купил m лотерейных билетов выигрышного займа, которые могут выигрывать и погашаться в заранее известные моменты тиражей t_{, t₂, …. Случайный процесс X (t) — число лотерейных билетов, выигравших до некоторого момента времени.
• 16. Техническое устройство состоит из п узлов, которые могут в ходе работы устройства отказывать (выходить из строя). Случайный процесс X (t) — число узлов, отказавших до момента t.

Еще пример процесса типа 16: техническое устройство в результате воздействия случайных факторов может находиться в одном из разных состояний (см. выше пример 6). Как и для каждого процесса с качественными состояниями, сечение такого процесса представляет собой обобщенную случайную величину дискретного типа. Ее возможные значения описываются словесно, а не численно.

• 2а. На метеостанции в определенные моменты времени ?_lt t₂,… регистрируется температура воздуха 0(?) в заданных точках пространства. Последовательности значений этой величины — случайный процесс 0(?) с непрерывными состояниями и дискретным временем.
• 26. Процесс изменения напряжения U (t) в электросети питания ЭВМ представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Для различных типов случайных процессов разработаны различные методы их изучения и описания, с которыми мы познакомимся в дальнейшем.

Ниже рассмотрим случай, очень важный для практики, когда исследуемый процесс подвергается аппроксимации. В этой области имеются работы крупных русских ученых П. Л. Чебышёва и А. А. Маркова. Чебышев основал теорию наилучшего приближения функций, в частности метод наименьших квадратов. После него теорию развивали Е. И. Золотарев, П. И. Ахиезер и другие. Подобный процесс мы рассмотрим в разделе моделей (Ф)-пространства, где проводятся реальные измерения, связанные с именами К. Ф. Гаусса, Н. И. Лобачевского, Б. Джерси, Д. И. Менделева, Ю. В. Линника, Д. В. Гиббса. Эти измерения составляют суть деятельности по оценке надежности объектов в результате испытаний и измерений, очевидную работу, которую в предметном мире начальство наблюдает и оплачивает, поскольку виден человек в проводах, с вольтметрами и г. д. А работа интерпретаторов, с бумагой и формулами, оплачивается не всегда, тут надо иметь всего-навсего мысленные очи. Этим теоретикам можно и не платить, они же не «арийцы»!

В ряде задач случайные процессы бывает удобно выражать через простейшие (или элементарные) случайные функции. Элементарной случайной функцией (ЭСФ) будем называть такую функцию аргумента t, где зависимость от t представлена обычной, неслучайной функцией, в которую в качестве параметров входят одна или несколько обычных, не зависящих от t случайных величин.

Рассмотрим ряд примеров ЭСФ. Для каждого из примеров построим семейство реализаций, приписывая фигурирующей в нем случайной величине (или случайному вектору) ряд значений. В примерах ЭСФ обозначена Y (t), ее реализации — y₂(t),…

Пример 2.1

ЭСФ имеет вид Y (t) = Xe~^f (t > 0), где X — непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (-1; +1). Семейство реализаций ЭСФ Y (t) показано на рис. 2.5; каждая из реализаций представляет собой показательную кривую с ординатами, пропорциональными ординатам кривой е~' (жирная линия); отдельные реализации (тонкие линии) различаются между собой масштабом по оси ординат. Когда СВ X принимает отрицательное значение, соответствующая реализация лежит ниже оси абсцисс.

Рис. 2.5. Семейство реализаций элементарных случайных функций вида Y (t) = Хе (t> 0).

Пример 2.2

ЭСФ имеет вид Y (t) = e~^tX (t > 0), где X — случайная величина, принимающая только положительные значения. Семейство реализаций данной ЭСФ показано на рис. 2.6. Каждая из этих реализаций представляет собой показательную кривую, проходящую через точку с координатами (0; 1); различаются они между собой скоростью стремления к нулю при t —".

Пример 2.3

ЭСФ имеет вид Y (t) = at + X, где X — случайная величина; а — неслучайная величина. Каждая реализация (рис. 2.7) представляет собой прямую с угловым коэффициентом а, параллельную прямой у = at, различаются реализации начальными ординатами.

ЭСФ имеет вид У (?) = Xt + а, где X — случайная величина; а — неслучайная величина. Каждая из реализаций — прямая линия, проходящая через точку (0; а) (рис. 2.8). Реализации различаются угловыми коэффициентами.

Рис. 2.6. Семейство реализаций элементарных случайных функций вида Y (t) = Xe ^tx (t > 0).

Рис. 2.7. Семейство реализаций элементарных случайных функций вида Y (t) = at + X, где X — случайная величина; а — неслучайная величина.

Рис. 2.8. Семейство реализаций элементарных случайных функций вида Y (t) = Xt + а, где X — случайная величина; а — неслучайная величина.

ЭСФ имеет вид Y (t) = z/(?)cos (cd?)> косинусоида, ординаты которой умножены на тот или другой случайный коэффициент. Реализации различаются между собой амплитудой, т. е. масштабом, но оси ординат, где y{t) — случайная величина (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Семейство реализаций элементарных случайных функций вида Y (t)cos ((tit).

Пример 2.6

ЭСФ имеет вид Y (t) = cos(Ut), где U — случайная величина, принимающая положительные значения. Семейство реализаций показано на рис. 2.10; каждая из них проходит через точку (0; 1). Реализации различаются между собой по частоте.

Рис. 2.10. Семейство реализаций элементарных случайных функций вида F (?) = cos(Ut), где U — случайная величина, принимающая положительные значения.