О непротиворечивости аксиоматической теории натуральных чисел

Нет ли противоречия в аксиоматическом определении натуральных чисел 2.1.1? Чтобы положительно ответить на этот вопрос, Д. Гильберт (1862—1943) предложил формализовать аксиоматическую теорию натуральных чисел так, чтобы доказательства в ней превратились в «механическое манипулирование» с основными понятиями теории, но определенным правилам, не допускающим появления противоречий, а затем средствами самой теории доказать ее непротиворечивость, то есть невозможность появления в ней одновременно некоторого утверждения А и его отрицания А (не А). Формальная аксиоматическая теория характеризуется заданием языка теории, аксиом теории и правил вывода. Однако, в 1931 году К. Гедель (1906— 1978) доказал, что непротиворечивость любой формальной аксиоматической теории, включающей в себя формальную арифметику (то есть теорию натуральных чисел), не может быть доказана средствами самой теории. Это вытекает из другого поразительного результата, известного под названием теоремы Геделя о неполноте. Она утверждает, что если формальная аксиоматическая теория, включающая в себя формальную арифметику, непротиворечива, то она не полна, т. е. содержит утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории. С привлечением дополнительных средств, нс формализуемых в самой теории, Г. Генцен в 1936 г. установил непротиворечивость формальной арифметики. Независимо эта же задача была решена П. С. Новиковым (1901—1974).

В дальнейшем, исходя из непротиворечивости теории натуральных чисел, мы докажем непротиворечивость каждой из последующих числовых систем. Для этого мы построим каждую следующую числовую систему из материала предыдущей. Так целые числа будут «сделаны» из натуральных, рациональные — из целых и гак далее. Таким образом, если бы в теории какой-то из числовых систем было противоречие, то оно оказалось бы следствием аксиом Пеано, что противоречило бы непротиворечивости аксиоматической теории натуральных чисел. Имея в виду эту цепочку построений и особую роль в ней натуральных чисел, хочется повторить знаменитые слова Л. Кронексра (1823—1891) в несколько вольном переводе: «натуральные числа сотворил господь бог, а все прочее — дело рук человеческих». Кронекер полагал, что в основе всей математики должна лежать арифметика.