Неясность понятия доказательства

Понятие дедукции является общеметодологическим. В логике ему соответствует понятие доказательства.

Доказательство обычно определяется как процедура обоснования истинности некоторого утверждения путем приведения тех истинных утверждений, из которых оно логически следует.

Это определение включает два центральных понятия логики: понятие истины и понятие логического следования. Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясными. Это означает, что определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным.

Многие наши утверждения не являются ни истинными, ни ложными, лежат вне «категории истины». К ним относятся оценки, нормы, номинальные определения, конвенции, предостережения и т. п. Они указывают, какой данная ситуация должна быть или в каком направлении ее нужно преобразовать. От описаний мы вправе требовать, чтобы они являлись истинными. Но удачный приказ, совет, соглашение и т. п. мы характеризуем как эффективный или целесообразный, но не как истинный.

В стандартном определении доказательства используется понятие истины. Доказать некоторый тезис — значит логически вывести его из других, являющихся истинными положений. Но есть утверждения, не связанные с истиной. Очевидно также, что, оперируя ими, нужно быть и логичным, и доказательным.

Таким образом, встает вопрос о существенном расширении понятия доказательства. Оно должно охватывать не только описания, но и утверждения типа оценок и норм.

Задача переопределения доказательства пока не решена ни логикой оценок, ни логикой норм. В результате понятие доказательства остается не вполне ясным по своему смыслу¹.

Не существует, далее, единого понятия логического следования. Это понятие определяется через понятие закона логики: из утверж;

¹ О попытках распространения понятия доказательства на случай нормативных утверждений см.: Ивин АЛ. Логика норм. М., 1973. Гл. 1. Можно отметить, что уже Юм определял доказательство как аргумент, не оставляющий места для сомнения. Определение Юма выходило, как кажется, за рамки простого утверждения о невозможности сомнения, поскольку предполагало, что невозможность сомнения сама должна быть основана на том, что нет основания для сомнения. Иными словами, Юм связывал понятие доказательства с идеей отсутствия рационального (обоснованного) основания для сомнения. С определением Юма перекликаются современные определения доказательства как рассуждения, убеждающего нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других. Подобный подход к доказательству не связывает его однозначно с категорией истины.

дения (или системы утверждений) А логически следует утверждение В в том и только том случае, когда выражение «ёсли А, то В» представляет собой закон логики.

Это определение — только общая схема бесконечного множества возможных определений. Конкретные определения логического следования получаются из нее путем указания логической системы, задающей понятие логического закона. Логических же систем, претендующих на определение закона логики, в принципе существует бесконечно много. Хорошо известны, в частности, классическое определение логического следования, интуиционистское его определение, определение следования в так называемой релевантной логике и др. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что можно назвать «парадоксами логического следования».

Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство. «Нигде нет настоящих доказательств, — писал Б. Паскаль, — кроме как в науке геометров и там, где ей подражают»^[1]. Под «геометрией» Паскаль имел в виду, как это было обычным в его время, всю математику.

Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс.

В нашем веке отношение к математическому доказательству изменилось. Математики разбились на группировки, каждая из которых придерживается своей версии понятия доказательства. Причиной этого послужило несколько обстоятельств. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Исчезла уверенность в их единственности и непогрешимости. Возникли также разногласия по поводу того, сколь далеко простирается сфера логики. Логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики. По мнению формалистов, одной лишь логики для этого недостаточно и логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими принципами. Представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда указывали их в явном виде. Интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным вообще не вдаваться в логику.

Подводя итог этому пересмотру понятия доказательства в математике, американский математик Р. Л. Уайлдер пишет, что математическое доказательство есть не что иное, как «проверка продуктов нашей интуиции … Совершенно ясно, что мы не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий, будь то отдельное лицо или школа мышления. В этих условиях самое разумное, пожалуй, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в обратном»^[2].

Математическое доказательство является парадигмой доказательства вообще, но даже в математике оно не является абсолютным и окончательным. «Новые контрпримеры подрывают старые доказательства, лишая их силы. Доказательства пересматриваются, и новые варианты ошибочно считаются окончательными. Но, как учит история, это означает лишь, что для критического пересмотра доказательства еще не настало время»^[3].

Математик не полагается на строгое доказательство в такой степени, как обычно считают. «Интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика, — пишет математик М. Клайн. — Когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании. Обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру. Если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция подвела его. Математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов… Прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией»^[4].

Таким образом, даже математическое доказательство не обладает абсолютной убедительностью и гарантирует только относительную уверенность в правильности доказанного положения. Как пишет польский логик и философ К. Айдукевич, «сказать, что в дедуктивных науках обоснованными считаются такие утверждения, для которых приведено дедуктивное доказательство, значит мало что сказать, поскольку мы не знаем ясно, что представляет собой то дедуктивное доказательство, которое делает правомочным в глазах математика приятие доказанного утверждения или которое составляет его обоснование»^[5].

Переоценка роли доказательств в научном обосновании обычно связана с неявным допущением, что рациональная дискуссия — а именно такой и должна быть научная дискуссия — должна иметь характер доказательства, логического выведения спорных тезисов из некоторых исходных, кажущихся достаточно обоснованными принципов. Сами эти принципы следует принимать на веру, если мы желаем избежать бесконечного регресса, ссылки на все новые и новые принципы.

Однако реальные научные дискуссии только в редких случаях приобретают форму выведения обсуждаемых положений из какихто более общих истин. Доказательство является ведущим способом обоснования только в математике и в современной логике. Но и в этих дисциплинах оно опирается в конечном счете на математическую или логическую интуицию.

Математик Ван Хао задается вопросом, существует ли доказательство независимо от нашего знания." Изменяет ли доказательство смысл ранее недоказанного предложения? Изменяет ли новое доказательство математической теоремы ее смысл? Будем мыслить предложение как станцию в формальной системе. Кругом — страна, и мы не знаем, имеется ли какая-либо дорога, ведущая к станции. Вот мы находим одну дорогу, затем — другую. Но страна остается той же самой и станция — тоже. Под предложением мы оба понимаем теорему: существует бесконечно много простых чисел. Он знает доказательство, а я — нет. Имеет ли это предложение для нас обоих один и тот же смысл? Пока неизвестно, существует ли бесконечно много пар простых п и п+2 (пар близнецов). Изменит ли доказательство смысл этого предложения? Доказательство откроет новые связи и напомнит ряд старых, известных связей и фактов, которые позволят каждому члену математического коллектива признать доказываемое предложение верным. Влияет ли возрастание знания на смысл предложения или отношение между знанием и смыслом только внешнее, напоминающее отношение между весом слона и нашим знанием этого веса?"^[6]

Ван Хао проводит такую аналогию. Имеются картины, кажущиеся хаотичными при первом взгляде. Только пристальное рассматривание позволяет обнаружить на подобной картине, например, человеческое лицо. Впечатление, которое мы получаем от картины, не воздействует на нее как на физический объект. И тем не менее картина означает разные вещи до того, как мы раскрыли в ней лицо, и после этого. Обнаруженное на картине лицо можно обвести карандашом, и каждый сможет увидеть его, хотя все конфигурации на картине останутся теми же самыми.

Доказательство, связывающее доказанное утверждение с другими положениями теории, указывает точное место утверждения в рамках теории и тем самым конкретизирует его смысл. Смысл утверждения очевидным образом зависит не только от него самого, но и от его окружения, от способа его включенности в систему. Выявление новых связей утверждения и его нового или более точного положения в системе меняет и его смысл. Наше знание веса слона никак не влияет на сам этот вес. Иначе обстоит дело с объектами культуры, характерная особенность которых в том, что они всегда обладают определенным значением, или смыслом. Изменение знания о таком объекте, и в частности о его связях с другими объектами, меняет его смысловую составляющую и, значит, изменяет сам объект. В этом плане научное знание, представляющее собой продукт человеческой деятельности, является обычным объектом культуры.^[7]

на отдельные факты, но и во многом также на широкий круг явлений, объясняемых теорией, на предсказание ею новых, ранее неизвестных эффектов, на связи ее с другими теориями и т. д. Анализируемое положение, включенное в теорию, получает ту эмпирическую и теоретическую поддержку, какой обладает теория в целом.

Л. Витгенштейн писал о целостности и системности знания: «Не изолированная аксиома бросается мне в глаза как очевидная, но целая система, в которой следствия и посылки взаимно поддерживают друг друга»^[8]. Системность распространяется не только на теоретические положения, но и на данные опыта: «Можно сказать, что опыт учит нас каким-то утверждениям. Однако он учит нас не изолированным утверждениям, а целому множеству взаимозависимых предложений. Если бы они были разрознены, я, может быть, и сомневался бы в них, потому что у меня нет опыта, непосредственно связанного с каждым из них»^[9].

Основания системы утверждений, замечает Витгенштейн, не поддерживают эту систему, но сами поддерживаются ею. Это значит, что надежность оснований определяется не ими самими, но себе, а тем, что над ними может быть надстроена целостная теоретическая система.

• [1] Паскаль Б. Избранное. М., 1989. С. 85.
• [2] Wilder R.L. The Nature of Mathematical Proof // American Mathematical Journal.1944. V. 51. S. 320.
• [3] Клайн M. Математика. Утрата определенности. M., 1984. С. 361.
• [4] Там же. С. 362−363.
• [5] Ajdukiewicz К. Zagadnienie uzasadniania // J$zyk a poznanie. Wfcrszawa, 1965. T. 1. S. 378−379.
• [6] Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логикаи ее применение. М., 1965. С. 324−325.
• [7] СИСТЕМНОЕ ОБОСНОВАНИЕ Трудно указать утверждение, которое обосновывалось бы самопо себе, в изоляции от других положений. Обоснование всегда носитсистемный характер. Включение нового положения в систему другихположений, придающих устойчивость своим элементам, являетсяодним из наиболее существенных шагов в его обосновании. Системное обоснование — обоснование утверждения путемвключения его в качестве составного элемента в кажущуюся хорошообоснованной систему утверждений или теорию. Подтверждение следствий, вытекающих из теории, являетсяодновременно и подкреплением самой теории. С другой стороны, теория сообщает выдвинутым на ее основе положениям определенные импульсы и силу и тем самым содействует их обоснованию. Утверждение, ставшее элементом теории, опирается уже не только
• [8] Wittgenstein L. On certainity. Oxford, 1969. § 142.
• [9] Ibid. § 140. «Научные гипотезы и теории, — пишет о позиции Витгенштейна З. А. Сокулер, — не являются, в его глазах, логическими следствиями из предшествующего опыта, которые должны отбрасываться, как только появляется новое, опровергающее свидетельство. Любое предложение, гипотеза, теория опутаны многообразными связями с элементами некоторого целого, в которое они входят. Научныегипотезы и теории имеют как бы «подпорки» в виде явлений, в объяснении которыхони используются, смежных теорий, обосновывающихся с их помощью, и пр. Чтобытеория или гипотеза была отброшена, недостаточно одного опровергающего свидетельства. Требуется что-то такое, что могло бы перевесить всю систему «подпорок"(Сокулер ЗА. Людвиг Витгенштейн и его место в философии XX в. Долгопрудный, 1994. С. 154).