Процесс решения задач. 
Методические особенности работы на разных этапах решения сюжетной задачи

В методических пособиях выделяют разное число этапов в процессе решения сюжетных задач. Наиболее полно представлена стратегия решения сюжетной задачи Л. М. Фридманом^[1], который весь процесс решения задачи разбивает на семь этапов.

• 1. Анализ текста задачи.
• 2. Построение вспомогательной модели задачи (краткая запись задачи).
• 3. Построение решающей математической модели задачи.
• 4. Осуществление решения задачи.
• 5. Проверка решения задачи.
• 6. Формулировка ответа задачи.
• 7. Учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Рассмотрим методические особенности работы с учениками на этих этапах.

Анализ задачи может проводиться в двух направлениях: предметно-содержательный анализ (декодирование условия задачи в целом, воссоздание той реальной ситуации, моделью которой является данная задача); логико-семантический анализ.

Данный анализ можно осуществить с помощью следующих приемов.

• 1. Правильное чтение и слушание сюжетной задачи: правильное прочтение всех слов и словосочетаний; правильная расстановка логических ударений. Логическое ударение оказывает при чтении значительное влияние на понимание задачи, так как оно подразумевает выделение числовых данных, название отношений.
• 2. Представление жизненной ситуации, которая описана в задаче, «принятие задачи». В 5—6-х классах целесообразно предлагать учащимся сделать рисунок задачи, изобразив ситуацию, описанную в ней.
• 3. Разбиение текста задачи на смысловые части. Разбиение зависит от этапа обучения и от содержания конкретной задачи. Разбиение составной задачи представляет собой выделение простых задач, последовательное решение которых приводит к решению составной. Это позволяет научить учащихся различать в сложной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.
• 4. Переформулирование текста задачи. Это возможно сделать на том же языке, на котором предлагается задача, а можно представить в виде схемы, таблицы, диаграммы и др.

Логико-семантический анализ проводится с целью установления типа задачи (при этом могут использоваться разные типологии), величин, их значений и отношений между ними, заданных в тексте задачи, разбиение тем самым текста задачи на отдельные элементарные условия и требования. Для этого можно воспользоваться системой специальных вопросов^[2] по содержанию задачи и поиском ответов на них.

Подробность анализа задачи зависит от ряда факторов: цели анализа сюжетной задачи (для нахождения способа решения задачи или для развития умения проведения анализа сюжетной задачи), степени умения проводить анализ текста задачи и нахождения ее решения.

Построение модели текста сюжетной задачи. Для изучения и решения сюжетной задачи возможно использовать:

• • материальные модели;
• • вербальные модели,
• • знаково-символьные модели;
• • образно-графические и др.

С помощью модели в процессе решения задачи удается зафиксировать результат анализа задачи, выделив ее математическое содержание. Удачно построенная вспомогательная модель может помочь найти решение задачи, фактически отражая поиск ее решения.

На этом этапе целесообразно организовать работу по освоению учащимися знаково-символьных универсальных учебных действий, моделирования: знакомство с понятием «модель» (через критерии модели), видами моделей, их созданием.

Поиск решения задачи. Под поиском решения задачи Л. Л. Гурова¹ понимает отыскание принципа построения логики решения, в соответствии с чем выполняются те или иные действия, о которых нельзя заранее сказать, приведут ли они к требуемому результату или нет.

Любая сюжетная задача предполагает необходимость осознанного поиска соответствующих средств для нахождения ответа. Можно выделить два основных приема поиска решения сюжетных задач: по модели и с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу».

Рассмотрим на примере следующей задачи^[3][4].

Задание 14.1.

Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из А в В и из В в А. После встречи одному из них приходится быть в пути.

2 ч, а другому — - ч. Найти скорости автомобилей, если расстояние А В 8.

равно 210 км.

Мы решаем задачу на равномерное движение двух объектов навстречу друг другу, которое началось одновременно. Структура текста данной задачи У — Т — У (условие — требование — условие). Итак, объектами задачи являются два автомобиля, движущиеся навстречу друг другу из, А и В соответственно. Они начали движение одновременно и поэтому двигались до встречи одинаковое время. Их движение после встречи проходило с теми же скоростями (об изменении скоростей в условии ничего не сказано). Первый потратил на оставшийся путь 2 ч.

Это тот путь, который проделал второй автомобиль до встречи. Второй проехал оставшееся расстояние за — ч. Пройденный каждым автомо;

билем путь равен 210 км. Итак, условие задачи выделено, что позволяет сделать рисунок и краткую запись условия.

Для поиска и составления плана решения продолжим анализировать и получать следствия из условия задачи.

Нами было установлено, что до встречи автомобили двигались одинаковое время ?, = t₂^ известно время, которое они потратили на путь после встречи, известно расстояние ЛВ. Имеющиеся связи мы отразим в следующих схемах.

На этапах ознакомления учеников со схемой поиска можно предложить им задания типа следующего: «Посмотрите на данные схемы и объясните, какие закономерности были положены в основу их составления».

Из приведенных схем попятно, что мы можем решать данную задачу, составляя систему уравнений (это нам подсказала и структура текста У — Т — У), выразив в качестве переменных (что соответствует требованию задачи) скорости автомобилей.

Построение решающей математической модели задачи. Осуществление решения задачи.

Итак, если х км/ч — скорость первого автомобиля, у км/ч — скорость второго автомобиля, тогда из первой схемы получаем уравнение.

• 9
• 9 о# 2т
• -у + 2 т = 210. Согласно второй схеме получаем уравнение: —— = —.
• 8 х у

Еще раз целесообразно обратиться с учащимися к схемам и проследить процесс составления каждого уравнения.

Далее ученики объединяют эти уравнения в систему и решают ее. Таким образом, решение задачи было сведено к решению системы уравнений.

После решения системы уравнений учащимся следует предложить проверить подстановкой правильность решения системы.

На этом этапе можно познакомить учащихся с решающей моделью — математической, в частности, познакомить с ее составляющими (структурой модели). Первая составляющая (компонент структуры) модели — содержательная. Это может быть математическое выражение или уравнение (неравенство) либо их системы. Вторая составляющая — объяснительная, или интерпретационная (интерфейсная). Это объяснение, что обозначает каждая буква или число в выражении (уравнении, неравенстве или их системах).

Проверка решения задачи. Мы проверили решение системы, но это не проверка решения задачи. Для проверки задачи существуют различные приемы, такие как: проверка по смыслу задачи, решение задачи другим способом, составление обратной задачи. Например, для рассмотренной выше задачи можно предложить учащимся составить новую задачу, в которой найденные значения скорости включены в условие. Перед этим целесообразно предложить рассмотреть ситуацию с готовой задачей для проверки: «Однажды ученик, работая с этой задачей, для проверки составил такую задачу: два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 210 км, со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч соответственно. Сколько времени был в пути каждый автомобиль после встречи?».

Для решения многих сюжетных задач указанные в условии словесные соотношения между заданными и неизвестными величинами переводят на язык уравнений, неравенств и их систем. Таким образом, при решении сюжетных задач алгебраическим методом можно выделить следующие этапы.

1. Выбор удобных переменных, их обозначение и точное словесное описание.

Следует отметить, что при решении сюжетных задач во многих случаях проще вводить не одну_у а несколько переменных.

• 2. Составление уравнений, неравенств или их систем в соответствии с условиями задачи.
• 3. Решение полученной математической (алгебраической) задачи.
• 4. Выбор тех решений, которые удовлетворяют условиям задачи; нахождение искомой величины и запись ответа.
• 5. Осуществление выбранного способа решения.

• [1] Фридман Л. М. Теоретические основы обучения математике.
• [2] Бронштейн С. С. О некоторых методах решения задач по арифметике // Математика в школе. 1947. № 6. С. 38—51.
• [3] Гурова Л. Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж, 1976.
• [4] Методика работы с сюжетными задачами: учеб.-метод. пособие / Н. А. Малахова [и др.]; под ред. к.п.н., доц. В. П. Радченко, к.п.н. В. В. Орлова. СПб.: Образование, 1992.