Элементы теории вероятностей и математической статистики

В этой главе приводится краткий обзор основных понятий и результатов теории вероятностей и математической статистики, которые используются в курсе эконометрики. Цель этой главы — напомнить читателю некоторые сведения, но никак не заменить изучение курса теории вероятностей и математической статистики, например, в объеме учебника [19].

Случайные величины и их числовые характеристики

Вероятностью Р (А) события, А называется численная мера степени объективной возможности появления этого события.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев т, благоприятствующих ему, к общему числу случаев п, т. е. Р (А)= т/п. При определенных условиях в качестве оценки вероятности события Р (А) может быть использована статистическая вероятность Р*(А), т. е. относительная частота (частость) W (A) появления события, А в п произведенных испытаниях.

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее не известно).

Более строго случайная величина X определяется как функция, заданная на множестве элементарных исходов (или в пространстве элементарных событий), т. е.

где со — элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее пространству Q, т. е. cog Q).

Для дискретной случайной величины множество Е возможных значений случайной величины, т. е. функции /(со), конечно или счетно^[1], для непрерывной — бесконечно и несчетно.

Пример ы случайных величин:

X — число родившихся детей в течение суток в г. Москве;

У— число произведенных выстрелов до первого попадания;

Z — дальность полета артиллерийского снаряда.

Здесь X, У — дискретные случайные величины, a Z — непрерывная случайная величина.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Например,.

или Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Для любой дискретной случайной величины.

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, по оси ординат — соответствующие их вероятности, то получаемая (соединением точек) ломаная называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

? Пример 2.1. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продастся 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины X — чистого выигрыша на один билет — равны 0 — 7 = —7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200 — 7 = 193, 250 — 7 = 243, 5000 — 1 = = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш — видеомагнитофон, телевизор или автомобиль соответственно). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей 5, 4 и 1 соответственно; используя классическое определение вероятности, получим:

Р (Х=-1) = 990/1000 = 0,990; Р (Х= 193) = 5/1000=0,005;

Р (Х=243) = 4/1000 = 0,004; Р (*=4993)= 1/1000=0,001, т. е. ряд распределения.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них нс меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон (ряд) распределения бывает трудно обозримым, не всегда удобным (и даже необходимым) для анализа.

Поэтому для описания случайных величин часто используются их числовые характеристики — числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения случайной величины. Наиболее важными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др. Обращаем внимание на то, что в силу определения, числовые характеристики случайных величин являются числами неслучайным и, определенными.

Математическим ожиданием, или средним значением, Л/(Л) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

• (Для математического ожидания используются также обозначения: Е (Х), Х.)
• ? Пример 2.2. Вычислить М (Х) для случайной величины X — чистого выигрыша по данным примера 2.1.

Р е ш е н и е. По формуле (2.2).

М (Х) = {-!)? 0,990 + 193- 0,005 + 243 • 0,004 + 4993 • 0,001 = 0,.

т.е. средний выигрыш равен нулю. Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билета лотереи идет на выигрыши. ?

При я—"сс математическое ожидание представляет сумму ряда ос.

если он абсолютно сходится.

/=1.

Свойства математического ожидания:

• 1) М (С) = С, где С — постоянная величина;
• 2) М (кХ) = кМ (Х);
• 3) М (Х± У) = М (Х) ± М (У)
• 4) М (ХУ) = М (Х) • М (У), где X, У — независимые случайные величины;
• 5) М (Х ± О = М (Х) ± С;
• 6) М (Х — а) = 0, где а = М{Х).

Дисперсией D (X) случайной в&шчины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или

(Для дисперсии случайной величины X используется также обозначение Var (A).).

Дисперсия характеризует откюнение (разброс, рассеяние, вариацию) значений случайной величины относительно среднего значения.

Если случайная величина X — дискретная с конечным числом значений, то.

Дисперсия D (X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину л/Щ).

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) а_х случайной величины X называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

? Пример 2.3. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X по данным примера 2.2.

Решение. В примере 2.2 было вычислено М (Х) = 0.

По формулам (2.4) и (2.5).

Свойства дисперсии случайной величины:

• 1) D (C) = 0, где С — постоянная величина;
• 2) D (kX) = k²D (X);
• 3) D (X) = MiX²) — a², где a = M (X);
• 4) D (X + Y) = D (X — Y) = D (X) + ДК), где X w Y- независимые случайные величины.
• ? Пример 2.4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=SX — 5Y + 7, если даны М (Х) = 3, M (Y) = 2, ДЛ) = 1,5 и D (Y) = 1 и известно, что X и Y — независимые случайные величины.

Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, вычислим:

• [1] Напомним, что множество называется счетным, если его элементы можно перенумеровать натуральными числами.