Действительные числа. 
Числовая прямая

Напомним основные понятия, связанные с понятием действительного числа.

Натуральные числа — это целые положительные числа. N — множество всех натуральных чисел: N= {1, 2, 3,…}. Z — множество всех целых чисел: Z = {0, ±1, ±2, ±3,…}.

Рациональными числами называются числа вида т/п, где т — целое, п — натуральное, Q — множество всех рациональных чисел: т/п е Q, если т е Z, п е N. Очевидно, что ;VcZcQ.

Числа, не являющиеся рациональными, называются up— рациональными. Таковы, например, числа V2 и Уз, число п. Множество всех иррациональных чисел обозначают через I. Очевидно, множества I и Q не имеют общих элементов. Множество Q всех рациональных чисел и множество I всех иррациональных чисел образует множество R всех действительных чисел: R = Q U I.

Геометрически множество всех действительных чисел изображается в виде числовой прямой (или числовой оси).

Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны: начало отсчета, положительное направление и масштаб. Между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует одна определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой — одно определенное число. Поэтому понятие «число х» и «точка х» равнозначны.

Перечислим простейшие числовые множества на прямой. Пусть аЬ — два числа, причем а < Ь. Тогда:

[а, Ь] — отрезок или сегмент, множество чисел которых удовлетворяющих неравенству а < х < Ь

(iа, b) — интервал, множество чисел которого удовлетворяет неравенству а <�х< Ъ

[а, Ь) и (а, /;] — полуинтервалы, множество чисел которых удовлетворяет неравенству а<�х< b и, соответственно, а < х < Ь.

Аналогично определяются бесконечные интервалы и полуинтервалы (а, о°), (-°°, b), [а, +°°), (-°°, Ь]. При этом вся числовая прямая есть (-°°, + °°).