Расчет статистических показателей организации

Задача 1.

По группе грузовых автотранспортных предприятий города имеется следующая информация за отчетный год:

Требуется произвести группировку грузовых автотранспортных предприятий по размеру грузооборота. По каждой группе определить: число предприятий, общий объем грузооборота, общую сумму затрат на перевозки, среднюю величину затрат на 10 ткм. Сделайте вывод.

Решение.

Группировка статистических данных.

Группировка — это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. С точки зрения отдельных единиц совокупности группировка — это объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам. Метод группировки основывается на следующих категориях — это группировочный признак, интервал группировки и число групп. Группировочный признак — это признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы. Интервал очерчивает количественные границы групп. Как правило, он представляет собой промежуток между максимальными и минимальными значениями признака в группе. В данной задаче необходимо сгруппировать данные по размеру грузооборота. Это и есть группировочный признак. Следующим шагом является определение числа групп. Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса:

n = 1 + 3,2log N,.

где Nэто количество исследуемых предприятий.

n = 1 + 3,2log (16) = 5.

Таким образом, все 16 предприятий можно сгруппировать в 5 групп по размеру грузооборота, млн. ткм. с интервалом h. Ширина интервала составит:

h = (xmax — xmin) / n.

h = (62 — 10) / 5 = 10,4 млн. ткм.

Данные представим в виде таблицы:

Одно значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп. Другими словами:

h1 = hmin +h = = 10+10,4=20,4 млн. ткм; h2 =h1+h = 20,4+10,4 =30,8 млн. ткм.

h3 =h2+h = 30,4+10.4 =41,2 млн. ткм и т. д.

Данные представим в таблице:

Таблица с расчетами показателей.

Для определения общего объема грузооборота, общей сумму затрат на перевозки и средней величины затрат на 10 ткм., следует рассчитать следующие показатели для каждой группы из пяти:

а) Общий объем грузооборота по каждой группе:

первой группы, в которую входят предприятия с порядковыми номерами 5,6,11 и 16:

О1 =15+10+18+20 = 63 млн. ткм.

Второй 4,8,10:

О2 = 25+27+24 = 76 млн.ткм.

Третьей 2,3,14,15:

О3 = 40+38+33+32 =143 млн. ткм.

Для четвертой группы 9,13:

О4 = 47+44= 91 млн. ткм.

И для пятой группы соответственно 1,7,12:

О5 = 62+52+58 = 172 млн. ткм б) Найдем общий объем затрат на грузоперевозки:

первой группы, в которую входят предприятия с порядковыми номерами 5,6,11 и 16.

З1 = (4720+8400+5790+6120) = 25 030 тыс. руб.

Второй 4,8,10:

З2 = (7500+8040+7240) = 22 780 тыс. руб.

Третьей 2,3,14,15:

З3 = (10 800+10330+6990+8850) =36 970 тыс. руб.

Для четвертой группы 9,13:

З4 = (12 450+11450) = 23 900 тыс. руб.

И для пятой группы соответственно 1,7,12:

З5 = (15 500+13100+14 440) = 43 040 тыс. руб.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

— Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная:

?x• fi; 544,8.

? x =? fi? x = 16 = 34,05 млн. ткм.

— Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.

где, А — условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h — шаг интервала.

Находим, А = 15,2. Шаг интервала h = 10,4.

— Средний квадрат отклонений по способу моментов.

?x = * 10,4 — 15,2 = 34,05.

D = 85/16*10,4? — (34,05 — 15,2)? = 219,28.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

? = vD = v219,277 = 14,81.

Таблица с расчетами показателей.

Задача 2.

Имеются следующие данные о выпуске продукции по предприятиям города:

Определить:

• 1. среднегодовое производство продукции на 1 предприятие по способу момента;
• 2. моду и медиану.

Сделайте вывод.

Решение.

В начале следует найти xi — середина интервала каждой группы.

x1 = (2000+3000)/2=2500 тыс. руб.

x2 = (3000+4000)/2=3500 тыс. руб. и так далее по каждому ряду.

х7 = (8000+9000)/2=8500 тыс. руб.

Далее находим шаг интервала:

h = R/n,.

где.

R — размах вариации = (x max — x min).

nчисло групп.

h = (9000−2000)/7=1000 тыс. руб.

Среднегодовое производство продукции на 1 предприятие находим по способу момента:

xi`*fi.

Xср. = h+A *? fi.

Где, А — условный ноль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой).

А=5500 тыс. руб.

xi` = (xi-A)/ h.

Все расчеты представим в виде таблицы:

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения. Средняя взвешенная.

Мода Мода — наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x0 — начало модального интервала;

h — величина интервала;

f2 -частота, соответствующая модальному интервалу;

f1 — предмодальная частота;

f3 — послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 5000, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда — 5714,29 (тыс. руб) Медиана Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 5000−6000, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 5825.

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.

где, А — условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой),.

h — шаг интервала.

Находим, А = 5500. Шаг интервала h = 1000.

Средний квадрат отклонений по способу моментов.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации — разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = xmax — xmin.

R = 8000 — 2000 = 6000.

Среднее линейное отклонение — вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 1399.01.

Дисперсия — характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего).

Несмещенная оценка дисперсии — состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 5801.08 в среднем на 1670.65.

Оценка среднеквадратического отклонения.

Задача 3.

Имеются следующие данные о распределении скважин в одном из районов бурения по глубине:

Рассчитать показатели вариации. Определить дисперсию способом моментов. Сделать выводы.

Решение.

Вариация — это изменение значения признака у отдельных единиц совокупности.

Вариация обусловлена действием различных факторов на развитие отдельных единиц совокупности. Чем более разнообразно условие, тем больше его вариация.

Наиболее простой характеристикой вариации признака является размах вариации ®. Размах вариации — это разность между наибольшим и наименьшим значением признака в изучаемой совокупности:

R = xmax — xmin.

R = 2000 — 500 = 1500.

R = 1500 м.

Среднее линейное отклонение — вычисляется для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

где.

f — количество скважин для определенной группы.

xi — глубина скважины для каждой группы.

x? — средняя взвешенная, которая находится по формуле:

x = 45 000/40 = 1125 (данные для расчета в таблице ниже).

Таким образом d = 356,25, т. е. каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 356,25 м.

Для простоты расчетов, представим все данные в виде таблицы:

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.

где, А — условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой),.

h — шаг интервала.

Находим, А = 1250 и шаг интервала h = 500.

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации — мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>30%, но v<70%, то вариация умеренная.

Линейный коэффициент вариации или относительное линейное отклонение — характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции — отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Дисперсия — характеризует меру разброса признака около его среднего значения (мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего).

Средний квадрат отклонений по способу моментов.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Дисперсия.

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1125 в среднем на 440,17 м.

Задача 4.

По группе акционерных коммерческих банков региона имеются следующие данные:

Вычислить линейный коэффициент корреляции для оценки тесноты связи между суммой прибыли банка и размером его активов. Охарактеризовать тесноту и направление связи между признаками.

Решение.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение.

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Коэффициент корреляции. Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

• 0.1 < rxy < 0.3: слабая;
• 0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
• 0.5 < rxy < 0.7: заметная;
• 0.7 < rxy < 0.9: высокая;
• 0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X заметна и прямая.

Для расчета параметров регрессии были использованы данные расчетной таблицы:

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии):

Линейное уравнение регрессии имеет вид:

y = 0.0235 x + 6.32.

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл: коэффициент регрессии b = 0.0235 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения.

В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.0235.

Коэффициент a = 6.32 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y (x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 — прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

Задача 5.

По данным статистической отчетности оборот розничной торговли г. Северодвинска (млн. руб.) за 1999;2003 гг. составляет:

Проанализировать динамику оборота розничной торговли за указанные годы, рассчитав абсолютные, относительные и средние показатели. Сделайте анализ показателей.

Решение.

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким способом показатели динамики называются цепными.

Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Абсолютный прирост:

цепной прирост:

?yц = yi — yi-1.

базисный прирост:

?yб = yi — y1.

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Темп прироста — это величина прироста относительной величины динамики в процентах.

Темп прироста:

цепной темп прироста:

Tпрцi = ?yi / yi-1.

базисный темп прироста:

Tпpб = ?yбi / y1.

Распространенным статистическим показателем динамики является темп роста. Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Темп роста — это величина динамики, выраженная в процентах.

Темп роста. Цепной темп роста и базисный темп роста:

Tpцi = yi / yi-1; Tpб = yбi / y1.

Абсолютное значение 1% прироста:

цепной:

1%цi = yi-1 / 100%.

базисный:

1%б = yб / 100%.

Темп наращения. Важным статистическим показателем динамики социально-экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала:

Tн = ?yцi / y1.

Цепные показатели ряда динамики представлены в таблице:

В 2003 по сравнению с 2002 розничная торговля увеличилось на 794,6 млн руб. или на 14,74%. Максимальный прирост наблюдается в 2001 (1493,9 млн руб.) Минимальный прирост зафиксирован в 2003 (794,6 млн руб.).

Темп наращения показывает, что тенденция ряда возрастающая, а это свидетельствует об ускорении (увеличении) розничной торговли.

Базисные показатели ряда динамики представлены в таблице:

В 2003 по сравнению с 1999 розничная торговля увеличилось на 4108,8 млн руб. или на 197,89%.

Расчет средник характеристик ряда.

Средний уровень ряда у динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней. Для нахождения среднего уровня моментального ряда используют среднюю хронологическую:

Среднее значение оборот розничной торговли за анализируемый период составило 4255,63 млн руб.

Средний темп роста.

В среднем за весь период рост анализируемого показателя составил 1,31.

Средний темп прироста В среднем с каждым периодом оборот розничной торговли увеличивалась на 31%.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

Средний абсолютный прирост.

С каждым периодом оборот розничной торговли в среднем увеличивалось на 1027,2 млн руб.

Задача 6.

Имеются следующие данные о себестоимости и объемах производства продукции промышленного предприятия:

Определите:

• 1. Индекс себестоимости;
• 2. Индекс физического объема продукции;
• 3. Индекс затрат на производство.

Покажите взаимосвязь индексов.

Проанализируйте полученные результаты Решение.

Вначале найдём общие индексы:

а) общий индекс себестоимости продукции:

• ?Zz = ?q1 * z1 — ?q1 * z0
• ?Zz = 27 728,9 — 24 791,4 = 2937,5

За счет изменения себестоимости общие затраты возросли на 11,85% или на 2937,5 руб.

б) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса).

?Zq = ?q1 * z0 — ?q0 * z0.

Zq = 24 791,4 — 27 427,4 = -2636.

За счет изменения объема выработанной продукции, общие затраты снизились на 9,61% или на 2636 руб.

в) общий индекс затрат на производство продукции грузооборот медиана прибыль.

• ?Z = ?q1 * z1 — ?q0 * z0
• ?Z = 27 728,9 — 27 427,4 = 301,5

За счет всех факторов общие затраты возросли на 1,1% или на 301,5 руб.

Покажем взаимосвязь индексов:

I = Iq * Iz.

I = 0,904 * 1,118 = 1,011.

Индексы себестоимости переменного состава.

Рассчитаем средние себестоимости за каждый период.

Средняя себестоимость за отчетный период.

Средняя себестоимость за базисный период.

Из этих формул следует, что средняя себестоимость по всем группам зависит от средней себестоимости по отдельным группам и доли физического объема выработки продукции в каждой из этих групп.

Таким образом, можно сказать, что средняя себестоимость по всем группам равна сумме произведений средней себестоимости по группам (качественный показатель) на долю в физическом объеме соответствующей группы (количественный показатель).

Доля в количественном объеме товара в данном примере определяет структуру объема продукции.

Соответственно, индекс себестоимости переменного состава (индекс средних величин) будет представлять собой отношение:

За счет всех факторов себестоимость возросла на 7,25%.

По аналогии с построением факторных агрегатных индексов построим факторные индексы.

Индекс себестоимости фиксированного (постоянного) состава Чтобы определить влияние только средней себестоимости по разным группам на изменение средней себестоимости по всей совокупности в формуле индекса себестоимости переменного состава необходимо устранить влияние изменения структуры физического объема.

Это достигается путем фиксирования значения доли (количественный показатель) на отчетном уровне. Получаемый индекс называется индексом фиксированного (постоянного) состава и рассчитывается по формуле:

За счет изменения структуры себестоимости средняя себестоимость возросла на 11.85%.

Индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней себестоимости:

= =.

Сравнивая формулы, полученные для расчета вышеуказанных индексов, нетрудно заметить, что индекс структурных сдвигов равен отношению индекса переменного состава и индекса фиксированного состава, т. е.:

Подставим данные и получим, что.

За счет изменения структуры выработанной продукции средняя себестоимость снизилась на 4,11%.

Кроме этих трех индексов для однородной совокупности может быть рассчитан общий индекс физического объема:

Общий индекс стоимости равен:

IQ = Iп.c. * Iq = 1,0725 * 0,943 = 1,011.

Рассмотрим разложение по факторам абсолютного изменения качественного показателя в однородной совокупности.

Абсолютный прирост средней себестоимости по всем группам будет рассчитываться следующим образом:

Изменение средних величин себестоимости по всем группам только за счет изменения средней себестоимости по отдельным группам будет рассчитываться по формуле:

Аналогичные рассуждения проводятся и для расчета изменения средней себестоимости по всем группам только за счет изменения структуры физического объема:

Очевидно, что общий абсолютный прирост средних величин себестоимости по всем группам равен сумме факторных изменений.

• 1. Балдин К. В. Общая теория статистики: Учебное пособие / К. В. Балдин, А. В. Рукосуев. — М.: Дашков и К, 2012. — 312 c.
• 2. Батракова Л. Г. Теория статистики: Учебное пособие / Л. Г. Батракова. — М.: КноРус, 2013. — 528 c.
• 3. Громыко Г. Л. Теория статистики: Практикум / Г. Л. Громыко. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 238 c.
• 4. Гусаров В. М. Общая теория статистики: Учебное пособие для студентов вузов / В. М. Гусаров, С. М. Проява. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. — 207 c.
• 5. Ефимова М. Р. Общая теория статистики: Учебник / М. Р. Ефимова, Е. В. Петрова, В. Н. Румянцев. — М.: ИНФРА-М, 2013. — 416 c.
• 6. Лысенко С. Н. Общая теория статистики: Учебное пособие / С. Н. Лысенко, И. А. Дмитриева. — М.: ИД ФОРУМ, НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 208 c.
• 7. Маличенко И. П. Общая теория статистики: Курс лекций с практическими примерами / И. П. Маличенко, О. Е. Лугинин. — Рн/Д: Феникс, 2010. — 187 c.
• 8. Рыбаковский О. Л. Теория статистики: Учебно-методическое пособие / О. Л. Рыбаковский. — М.: РАГС, 2008. — 124 c.
• 9. Теория статистики: Учебник./ Под редакцией Шмойловой Р. А. — М.: Финансы и статистика, 1999.
• 10. Практикум по теории статистики. Под редакцией Шмойловой Р. А. — М.: Финансы и статистика, 1999.
• 11. Статистика: Учебное пособие. / Под редакцией проф. М. Р. Ефимовой. — М.: ИНФРА — М, 2004.
• 12. Мальцева В. С. Практикум по общей теории статистики. Учебное пособие.- Северодвинск: Севмашвтуз, 2005.