Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические характеристики, включающие в себя логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую характеристику (ЛФХ).

В теории автоматического управления при исследовании динамических свойств САУ (главным образом, устойчивости) пользуются логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ). Также эти характеристики широко применяются при определении структуры и параметров регуляторов, формирующих заданный переходный процесс в САУ.

Логарифмируя левую и правую части уравнения АФЧХ, можно записать.

Зависимости 1пЛ (со) и <�р (со) представляют собой соответственно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики.

Для оценки отношения двух однородных величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ). Связь между числом L и числом А выражается формулой L = 201gA Например, если число А = 10, то L = 201gА = 20 дБ, так как lglO = I.

В этом случае ЛАХ и ЛФХ представляются в виде графиков в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывается частота о в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — значения амплитуд ЛАХ в децибелах и углы ЛФХ в градусах (или радианах) в равномерном масштабе.

Безынерционное звено. Логарифмируя ЛФЧХ этого звена, получим Дсо) = 201g/c. Так как к от частоты не зависит, ЛАХ безынерционного звена будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 4.10).

Апериодическое звено. Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим.

Рис. 4.10. Логарифмическая амплитудная характеристика безынерционного звена.

Рассмотрим вторую составляющую ЛАХ:

Из этого выражения, полагая, что ш²Т²" 1, получим Z,₂(co) = 0, так как Igl =0. Если со²Т² « 1, то, пренебрегая единицей, найдем L₂(co) = -201g со Г. При со Г= 1 подкоренное выражение будет равно двум, a L₂(со) = 3 дБ. Логарифмическую амплитудную характеристику в этом случае можно представить в виде двух прямых (асимптот), сопряженных в точке со₅ = 1 /I При этом частота со_л называется сопрягающей; одна из асимптот L₂(со) = 0 совпадает с осью абсцисс, а вторая L₂(со) = -201grнаклонена по отношению к ней.

Угол наклона второй прямой найдем на основании следующих соображений. При частоте со = С0| ордината прямой равна -201g С0| Г, а при частоте, например, со = 2со, она составит -201g2co, Т. Найдем разность этих ординат, дБ:

Таким образом, при двухкратном изменении частоты прямая имеет наклон -6 дБ на октаву. Под октавой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий двухкратному изменению частоты. Разность ординат при десятикратном изменении частоты составит, дБ:

Наклон прямой в этом случае -20 дБ на декаду (-20 дБ/дек.). Под декадой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий десятикратному изменению частоты. Знак «минус» показывает, что при возрастании частоты ординаты ЛАХ убывают (отрицательный наклон).

На рис. 4.11 показано сопряжение двух асимптот. Первая представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от нес на расстоянии 201gк. Вторая наклонена по отношению к ней на -20 дБ/дек. Суммируя I, и 1_Ъ получим результирующую ЛАХ апериодического звена L (w). В окрестности частоты со_с сопряжение асимптот может быть произведено плавной кривой, проходящей через точку, лежащую ниже точки их пересечения на 3 дБ. Частота о>_с, при которой ЛАХ пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Логарифмическая фазовая характеристика ср (а>) = -arctgwrможет быть построена по точкам. Ее характерными точками являются: (р (0) = 0; ф (о)₅) = -45°; ф () = -90°.

Колебательное звено. Для построения ЛАХ колебательного звена целесообразно его уравнение представить в следующем виде:

Рис. 4.11. Апериодическое звено: Дш) — ЛАХ; ф (со) — ЛФХ.

2 1 к2 7|.

где w6 =^г; V =dr- /|'2

Прологарифмировав это выражение, получим уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик:

Семейство кривых ЛАХ и АФХ для одного и того же значения ш₀ и различных значений ?, построенное по этим уравнениям, приведено на рис. 4.12. Эти кривые построены без учета первого и второго слагаемых уравнения для Leo, так как они являются постоянными величинами. В отличие от предыдущих графиков для придания универсальности кривым по оси абсцисс откладываются значения cd/coq.

При значениях ^ от 0,35 до 0,75 с достаточной точностью вместо кривых АФХ можно использовать две прямые асимптоты, сопрягающиеся в точке со/соо = 0. Действительно, при (о/о)₀" 1

при (0/(0о" 1.

Наклон второй асимптоты, определяемый уравнением -201g2, составляет -12 дБ на октаву, или -40 дБ/дек. При любых других значениях? характеристики Ц (о) необходимо строить по точкам.

Дифференцирующее звено. Прологарифмировав уравнение этого звена, найдем:

а.

Рис. 4.12. Колебательное звено: а — ЛАХ; б — ЛФХ Логарифмическая амплитудная характеристика L (w) строится по трем составляющим (рис. 4.13). Первая составляющая L,(о) = = 201gк — это прямая, параллельная оси абсцисс; вторая составляющая L₂(<�о) = 201g (o7^T — прямая, имеющая положительный наклон 20 дБ/дек и проходящая через точку на оси абсцисс, соответствующую сопрягающей частоте со₅= 1 /Т. Третья составляющая.

1з (со) =-20 lg >/со²Г² + 1 имеет две асимптоты, сопрягающиеся в точке о)₅ = 1 /Г, одна из которых совпадает с осью абсцисс, а вторая имеет отрицательный наклон: -20 дБ/дек. Просуммировав эти.

Рис. 4.13. Дифференцирующее звено.

три составляющие, получим результирующую ЛАХ дифференцирующего звена /.(со).

Логарифмическая фазовая характеристика <�р (со) строится по точкам. Ее характерными точками являются: <�р (0) = 90°; _s) = 45°;

ф (оо) = 0.

Интегрирующее звено. Логарифмическая амплитудная характеристика этого звена строится по уравнению /.(со) = 20lg/c — 20lgco, а уравнение ЛФХ имеет вид <�р (со) = -я/2.

Логарифмическая амплитудная характеристика (рис. 4.14) представляет собой прямую, проходящую через точку со = 1 на расстоянии 201gA от оси абсцисс и имеющую наклон -20 дБ/дек. Логарифмическая фазовая характеристика выражается прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстояниия/2(-90°).

Рис. 4.14. Интегрирующее звено.

Запаздывающее звено. Уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик этого звена соответственно имеют вид 1(со) = 20lgк ф (со) = -сот.

Таким образом, ЛАХ запаздывающего звена аналогична ЛАХ безынерционного звена, а ЛФХ представляет собой кривую с неограниченным возрастанием угла <�р (со) при изменении частоты со от 0 до.