Свойства косвенной функции полезности

• 2. Косвенная функция полезности непрерывна по ценам и доходу. Это вытекает из непрерывной природы денег, мы можем оценивать товары и доход до сколь угодно малой величины счетной единицы.
• 3. Косвенная функция полезности является возрастающей по доходу (вследствие аксиомы о ненасыщаемости) и не возрастающей по цене товара. Если цена товара увеличивается, потребитель либо сокращает, либо, по крайней мере, не изменяет объемы покупок.
• 4. Косвенная функция полезности выпуклая по ценам и доходу. Это следует из выпуклости функции полезности потребителя и выпуклости его бюджетного множества.
• 5. Косвенная функция полезности связана с множителем Лагранжа — предельной полезностью денег, который представляет собой производную

косвенной функции полезности по доходу: X = —.

д!

Примеры косвенной функции полезности Предпочтения Кобба — Дугласа являются наиболее удобным примером для построения косвенной функции полезности, поскольку они, во-первых, являются стандартными, т. е. удовлетворяют предпосылкам ординалистской теории полезности, а во-вторых, удобны с точки зрения проведения расчетов (ограничений для применения математического аппарата практически нет).

Пусть нам дана функция полезности для двух товаров типа Кобба — Дугласа.

где c, d — положительные коээфициенты.

Решим задачу максимизации полезности при заданном доходе и ценах товаров. Данное условие можно записать в виде системы.

Для решения воспользуемся методом Лагранжа. Прежде чем строить функцию Лагранжа, проведем монотонное положительное преобразование функции Кобба — Дугласа — логарифмирование, что значительно облегчит расчеты:

Функция Лагранжа теперь будет равна.

Условия первого порядка составят.

Преобразуем первые два уравнения и выделим end

Теперь сложим первые два уравнения и выразим X

Подставим последнее выражение в уравнения для Х_г и Х₂, и таким образом получим искомые функции обычного спроса — оптимальные количества каждого товара при заданных ценах и доходе.

Подставляя эти функции в первоначальную функцию полезности, получаем искомую косвенную функцию полезности.

Поскольку мы нашли максимум полезности при рассмотрении предпочтений Кобба — Дугласа в общем случае, то полученную косвенную функцию полезности можно применить при анализе любых предпочтений такого вида.

Карта кривых безразличия для квазилинейных предпочтений задается линиями, каждую из которых можно получить из другой посредством параллельного переноса.