Напряжения. 
Напряженное состояние в точке

Усилия в поперечных сечениях, показанные выше, не являются реальными, а представляют собой лишь статический эквивалент элементарных усилии, распределенных по всей площади поперечного сечения, т. е. являются равнодействующими действительных внутренних сил, возникающих в каждой точке сечения.

Выделим в поперечном сечении тела (рис. 4.8, а) элементарную площадку ДА, на которой действует равнодействующая внутренних сил ДR. Тогда силы, действующие по этой площадке, характеризуются их интенсивностью, которая равна.

Разложим силу ДR на две составляющие — касательную AQ и нормальную AN, из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна этой плоскости.

Рис. 4.8.

Интенсивность касательных сил в рассматриваемой точке называется касательным напряжением т, а интенсивность нормальных — нормальным напряжением а:

Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения р в рассматриваемой точке (рис. 4.8, б) сечения. Очевидно, что Нормальное напряжение в данной точке характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкции, расположенных по обе стороны рассматриваемого сечения, а касательное — интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения.

Касательное напряжение т в точке может быть разложено в пределах сечения по направлению местных координатных осей (рис. 4.8, в) на т₂ и х_у

По своей природе напряжения — это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасающихся частей тела. Поэтому напряжения выражаются в единицах силы, отнесенных к единице площади: паскалях (Па = Н/м²), килопаскалях (кПа = кН/м² = 1000 Па), мегапаскалях (МПа = 1000 кПа = 10⁶ Па).

Совокупность напряжений, а и т, действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку сечения, представляет собой напряженное состояние в этой точке.

Исследовать напряженное состояние в точке тела — значит получить зависимости, позволяющие определить напряжения на любой площадке, проходящей через указанную точку.

Рис. 4.9.

Для исследования напряженного состояния в окрестности исследуемой точки выделим бесконечно малый параллелепипед со сторонами clr, dу и dz (рис. 4.9). Если полные напряжения, действующие по граням этого параллелепипеда, разложить на составляющие, параллельные местным координатным осям, то в общем случае получим одно нормальное и два касательных напряжения.

Индекс у нормального напряжения показывает его направление, совпадающее с соответствующей координатной осью. В обозначении касательных напряжений первый индекс показывает направление, совпадающее с соответствующей координатной осью; второй — наименование оси, к которой перпендикулярна площадка, где действует напряжение. Например, напряжение т_ху действует в направлении оси х на площадке, перпендикулярной оси у.

Для касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным граням элемента и направленных перпендикулярно к этим граням, выполняется закон парности касательных напряжений:

Рис. 4.10.

Если ориентацию выделенного бесконечно малого элемента изменить, то действующие на его гранях напряжения также будут изменяться. При этом можно найти такое положение элемента, при котором на его гранях касательные напряжения равны нулю (рис. 4.10).

Грани элемента, по которым касательные напряжения равны нулю, называют главными площадками, а нормальные напряжения на них — главными напряжениями. Доказано, что в каждой точке тела имеются в общем случае три главные площадки, причем они всегда взаимно перпендикулярны. Следовательно, в каждой точке тела будут также три главных напряжения (а_1? а₂, а₃), линии действия которых определяют три главных направления напряженного состояния в данной точке (рис. 4.10, а).

В зависимости от величины главных напряжений различают следующие виды напряженных состояний:

• • объемное — все три главных напряжения отличны от нуля и обозначаются в порядке возрастания: cjj > а₂> а₃ (рис. 4.10, а);
• • плоское — два главных напряжения отличны от нуля (рис. 4.10, б);
• • линейное — только одно главное напряжение из трех отлично от нуля (рис. 4.10, в).

На практике чаще всего имеют место линейное и плоское напряженные состояния.