Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты точек A (x_A, y_A, z_A) и B (x_B, y_B, z_B), а требуется найти координаты x_C, y_C и z_C точки С, которая делит отрезок АВ в отношении .

Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству.

= (+).

Векторы и являются радиус-векторами точек, А и В, поэтому,.

= (x_A, y_A, z_A) и = (x_B, y_B, z_B). Тогда.

= (+) = (, ,).

Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении, имеет координаты.

(, ,).

Теории порождаемые задачей о делении отрезка в данном отношении

1) Джованни Чева (Ceva Giovani, 1648−1734) — итальянский инженер и математик. Окончил университет в Пизе. Основные его труды — работы по геометрии и механике. Теорема, известная сегодня как теорема Чевы, была доказана им в 1678 году.

Теорема (теорема Чевы). Пусть точки A₁, B₁, C₁ лежат на сторонах BC, AC и AB треугольника ABC соответственно.

Пусть отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Тогда.

(обходим треугольник по часовой стрелке) Доказательство. Обозначим через O точку пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁. Опустим из точек C и A перпендикуляры на прямую BB₁ до пересечения с ней в точках K и L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т. е. AL и CK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники AB₁L и CB₁K подобны по острому углу. Аналогично получаем.

и.

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы). Пусть точки A₁, B₁, C₁ лежат на сторонах BC, AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение.

Тогда отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть O — точка пересечения отрезков AA₁ и BB₁ и прямая CO пересекает сторону AB в некоторой точке C₂. Достаточно доказать, что C₁ = C₂.

По теореме Чевы для точек A₁, B₁ и C₂ имеем.

Но тогда.

Значит, точки C1 и C2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Пусть AC₁ = x, AC₂ = y, AB = c. Тогда.

откуда то есть точки и совпадают.

2) Теорема Менелая Менелай Александрийский (, I в.) — древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: написал 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики'', сохранившиеся в арабском переводе. Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему, известную сегодня как теорема Менелая.

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник, причем — точка ее пересечения со стороной , — точка ее пересечения со стороной, и — точка ее пересечения с продолжением стороны. Тогда Доказательство. Проведем через точку прямую, параллельную. Обозначим через ее точку пересечения с прямой .

Треугольники и подобны (?С₁AB₁ = ?KCB₁, ?AC₁B₁ = ?CKB₁).

Следовательно:

Треугольники и также подобны (?BA₁C₁ = ?KA₁C, ?BC₁A₁ = ?CKA₁) Значит,.

Из каждого равенства выразим :

откуда.

что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник. Пусть точка лежит на стороне, точка — на стороне, а точка — на продолжении стороны, причем выполняется соотношение Тогда точки и лежат на одной прямой.

Доказательство. Заметим для начала, что, поскольку, по условию, это выражение равно. Следовательно, прямые и не параллельны.

Проведем прямую через точки и. Она пересечет прямую в некоторой точке. Для точек и справедлива теорема Менелая, так что.

Отсюда следует, что.

Из этого равенства следует, что обе точки и лежат на продолжении отрезка за одну и ту же точку, ибо правее данное отношение меньше, а левее оно строго больше. Пусть. Тогда, учитывая, что и, перепишем полученное равенство в виде.

Из равенства следует, что, и доказано, что точка, совпадающая с, лежит на прямой .

Замечание. Теоремы Менелая (прямая и обратная) верны также и в том случае, когда все три точки лежат на продолжениях сторон треугольника. То есть справедлива следующая.

Теорема. Пусть дан треугольник. Точки лежат на продолжениях сторон и соответственно. Три точки и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство Доказательство этой теоремы, точно такое же, как и доказательство, приведенное выше.