Численное исследование колебательных течений в каналах тепломеханических систем

Переток газа по каналу между сосудами конечного объема

Рассматривается нестационарный процесс тепломассообмена в системе, состоящей из двух сосудов конечного объема, соединенных длинным каналом. Схема задачи изображена на рис. 7.1, причем сосуды S2 и S3 являются сосудами конечного объема. Объем сосудов S2 и S3 постоянен и равен V₂ = Уз = 0,7854- 1СГ² м³. Площадь сечения канала постоянна и равна F₃ = 0,1927 • 10^-2 м². Длина канала составляет 0,5 м. Выбранные размеры близки к типичным для головных частей снарядов залпового огня. Предполагается, что в сосуде-источнике S2 задаются начальные давление и температура? = 130,0 • 10⁵ Па, Т — 2800 К, а в сосуде-стоке S3 Р = 0,98 • 10⁵ Па, Т = 293 К. Газ в канале К1 в начальный момент покоится, давление и температура в канале равны таковым в сосуде-стоке. Предполагается, что рабочим телом является совершенный газ с показателем адиабаты к = 1,22, удельной теплоемкостью при постоянном давлении С_р = 1346,0 Дж/(кг • К). Предполагается, что в начальный момент рвется мембрана, отделяющая канал от сосуда-источника, и начинается нестационарный процесс опорожнения сосуда S2 через канал К1 в сосуд S3. Расчет проводился на фиксированной сетке в канале, включающей 40 узлов. Шаг по времени выбирался из условия Куранта с числом Куранта равным 0,5. Рассчитывалось протекание процесса в течение интервала времени t = 0,03 с, что соответствует безразмерному времени т = tC₀/L = 17,7.

Рассматриваемая задача является удобным тестом, позволяющим исследовать такое важное свойство расчетного алгоритма как консервативность. Используемая в расчете разностная схема консервативна при отсутствии нелинейной коррекции потоков численной антидиффузии через грани ячеек расчетной сетки. При нелинейной коррекции потоков антидиффузии последние добавляются при расчете течения не во всех ячейках сетки, а только в тех, где это не приводит к немонотонности расчетных кривых. При этом суммарный баланс массы, энергии и импульса на сетке может быть нарушен. Очевидно, чем больше потоки антидиффузии по сравнению с потоками конвекции, тем больший вклад в нарушение балансов создает нелинейная коррекция. То есть порождение неконсервативности будет относительно более существенным для медленных течений, в которых конвективные потоки сравнительно малы. Вторым источником неконсервативности алгоритма является обмен массой компонент и энергией между каналами и сосудами. Условия связи параметров течения на входах и выходах канала должны быть такими, чтобы в процессе счета не накапливался дисбаланс вытекших из сосудов и затекших в каналы (или наоборот) порций массы компонент и энергии. Это требование должно специально обеспечиваться, так как использование консервативных разностных схем для расчета течений не гарантирует его выполнения в системе каналов и сосудов в целом.

Важность требования консервативности при расчете процессов перетока рабочего тела между смежными сосудами была отмечена в подпараграфе 7.2.5. Там же сформулирован способ обеспечения консервативности процесса при расчете массообмена между сосудами, заключающийся в одновременном расчете всех сосудов на каждом шаге Рунге — Кутта по времени, сопровождаемом определением расходов истечения-затекания по одним и тем же характерным параметрам для смежных сосудов. При включении каналов с распределенными параметрами в качестве газодинамических связей в систему сосудов этот прием также может быть использован. При этом, однако, явного определения параметров затекания в канал при использовании как нестационарных, так и квазистационарных условий на входе в канал из сосуда, оказывается недостаточно. На рис. 9.14 изображено изменение давлений в сосудах S2 и S3 при колебательном процессе течения в канале между ними, рассчитанное при формулировке квазистационарных условий на входе в канал. Сначала рассчитывается изменение параметров в сосуде-источнике в течение шага по времени по схеме Рунге — Кутта 4-го порядка точности, причем расход считается по формуле Сен-Венана — Ванцеля для давления на входе в канал в момент времени t^m, а затем рассчитывается течение в канале при условии затекания в канал с давлением на входе в момент t^m из сосуда с параметрами в момент t^m. При такой численной реализации условий связи масса, вытекшая из сосуда, оказывается меньше, чем масса, затекшая в канал, так как на шагах Рунге — Кутта в сосуде учитывается падение давления в сосуде при оттоке, а при расчете затекания в канал давление в сосуде остается постоянным. Указанный дисбаланс приводит к нарастанию суммарной массы газа в системе. На рис. 9.15 изображены масса газа в канале, суммарная масса газа в сосудах S2 и S3, а также суммарная масса газа в системе. Все они возрастают, что приводит к существенному росту среднего давления в сосудах при развитии колебательного процесса. Суммарные характеристики параметров течения в канале рассчитывались интегрированием сеточного решения по длине канала по формуле трапеций.

Возможное исправление указанного недостатка может быть осуществлено включением расчета течений в каналах на каждом шаге Рунге — Кутта расчета параметров сосудов, что безусловно, во-первых, сделает алгоритм неэкономичным, а во-вторых, приведет к необходимости жесткого согласования порядка точности алгоритмов расчета параметров сосудов с порядком точности по времени разностных схем для тече;

Рис. 9.14. Изменение давлений в сосудах S2 (7) и S3 (2) во времени при расчете по неконсервативному алгоритму

Рис. 9.15. Изменение массы газа в канале У (7), суммы масс газа в сосудах У (2), и суммарной массы газа в системе S во времени

ний в каналах. Например, при использовании схемы предиктор-корректор второго порядка точности в канале в сосуде может использоваться схема Рунге — Кутта 2-го порядка. При этом на шаге предиктор параметры затекания в канал определятся теми же соотношениями, что и параметры истечения из сосуда на первом шаге Рунге — Кутта. Более гибкой и удобной в реализации является явная формулировка условий связи при которой на каждом шаге по времени сначала рассчитываются течения в каналах при использовании параметров сосудов в момент t^m. При этом точно определяются размеры порций массы, массы первой компоненты смеси и полной энтальпии, затекших в канал из сосуда, а затем эти величины используются при задании параметров оттока из сосудов. Расходы истекающие из сосуда считаются постоянными в течение шага Рунге — Кутта и получаются делением вытекших в канал порций на шаг по времени. Такой подход обеспечивает тождественное равенство истекающих из сосуда и затекающих в канал за шаг по времени порций массы, массы первой компоненты смеси и полной энтальпии, и не накладывает ограничений на характеристики используемых при расчете параметров каналов и сосудов разностных схем. Аналогичным образом рассчитывается обмен массой и энергией на выходах из канала. После расчета течения в канале вытекшие порции массы и полной энтальпии рассчитываются со вторым порядком точности по времени и эти значения используются для задания расходов при затекании в сосуд, обеспечивающих консервативность алгоритма.

На рис. 9.16 приведены кривые Y изменения массы газа в канале (1) и суммарной массы в сосудах (2), рассчитанные по описанному выше консервативному алгоритму в случае течения в канале без трения и теплообмена со стенками (индекс 1), с учетом только теплобмена (индекс 2), с учетом трения и теплообмена (индекс 3). Там же приведена кривая изменения суммарной массы S (I) в случае 1. Начальное значение суммарной массы сохраняется в период развития колебательного.

Рис. 9.16. Изменение массы газа в канале У (7), суммы масс газа в сосудах У (2), и суммарной массы газа в системе S во времени

процесса в системе с точностью 1,6%. В начальный период прохождения по каналу ударной волны и отражения ее от выхода погрешность доходит до 4,2%. Это связано, по-видимому, с погрешностью интегрирования сеточного решения по объему канала в этот период. Расчет с учетом теплообмена в канале приводит к некоторому росту суммарной массы в системе во второй половине временного интервала (S, кривая (2)). При этом максимальная погрешность суммарной массы в период колебательного процесса составляет 1,44%, а погрешность в момент окончания счета равна 0,05%. Это обусловлено наложением на погрешность предыдущего расчета некоторого нарастания массы в системе в период медленного течения, особенно проявляющийся при расчете с учетом трения. При расчете течения с учетом трения и теплообмена имеет место заметный рост суммарной массы, начинающийся при малых числах Маха, так что к моменту окончания счета погрешность достигает 5,3% (S, кривая (3)). Анализ причин этого явления позволяет связать его с характером течения в канале, при котором проявляется неконсервативность.

На рис. 9.17—9.19 приведены кривые изменения числа Маха по длине канала в начальный ударно-волновой период течения в канале и в период дозвукового колебательного режима течения во второй половине временного интервала. В момент вскрытия мемебраны в канале формируется ударная волна, распространяющаяся от источника S2 к стоку S3. После прохождения ударной волны заполнение стока S3 происходит в сверхзвуковом режиме до момента достижения давления, превышающего давление за прямым скачком уплотнения в затекающем в сток потоке. В этот момент формируется отраженная ударная волна, распространяющаяся в обратном направлении. Последнее приводит сначала к переходу на дозвуковой режим течения в канале, а затем к инверсии потока в канале и заполнению опорожненного сосуда S2. В дальнейшем заполнение источника S2 приводит к повторной инверсии потока в канале и заполнению стока S3 и т. д. В системе развивается колебательный режим перетока газа по каналу между сосудами. При отсутствии трения и теплообмена (рис. 9.18) колебательное течение в канале затухает слабо и происходит со средними числами Маха в диапазоне 0,1—0,3. При наличии трения и теплообмена колебательное течение (см. рис. 9.19) затухает достаточно быстро и происходит со средними числами Маха, меньшими 0,1. Для таких чисел Маха, по-видимому, проявляется неконсервативность, связанная с нелинейной коррекцией потоков, усиливаемая общим ухудшением точности расчета, отмеченным в подпараграфе 7.4.2. Отметим, что для чисел Маха М > 0,1 точность выполнения законов сохранения в системе можно считать удовлетворительной. В приведенных расчетах учет тепловых потерь в сосудах проводился во всех случаях.

На рис. 9.20—9.21 приведены кривые изменения давлений в сосудах S2 и S3 в первую половину расчетного периода, когда неконсерватив;

Puc. 9.17. Изменение числа Маха подлине канала в начальный период при расчете без учета трения и теплообмена в канале.

Рис. 9.18. Изменение числа Маха по длине канала в колебательный период при расчете без учета трения и теплообмена в канале

Рис. 9.19. Изменение числа Маха по длине канала в колебательный период при расчете с учетом трения и теплообмена в канале

Рис. 9.20. Изменение давления Я2 в источнике и РЗ в стоке в начальный период.

Рис. 9.21. Изменение давления Р2 в источнике и РЗ в стоке в колебательный период.

ность процесса несущественна. Индекс 1 соответствует расчету без учета трения и теплообмена, индекс 2 — расчету с учетом только теплообмена, индекс 3 — расчету с учетом трения и теплообмена. На рис. 9.20 представлены кривые для начального периода прохождения ударной волны по каналу и отражения ее от стока после его заполнения. На рис. 9.21 приведено изменение давления в сосудах при дозвуковом колебательном режиме течения в канале. Учет теплоотвода в стенки канала слабо влияет на процесс. Учет трения о стенки заметно уменьшает амплитуду колебаний и слабо влияет на частоту, определяемую длиной канала и соотношением объемов элементов системы.

Проделанные расчеты позволяют сделать следующие выводы.

1. На модельных задачах показано, что существенной стороной алгоритмов расчета тепломассообмена при течении газов в системах сосудов, связанных каналами, должна быть их консервативность в отношении описания обменов рабочим телом между каналами и сосудами.

Сформулированные алгоритмы расчетов обеспечивают высокую точность выполнения законов сохранения в системе в целом при реализации достаточно быстрых течений в каналах с числом Маха М > ОД.

2. Проведено численное исследование влияния трения и теплообмена в канале при развитии колебательного процесса течения в канале между двумя сосудами. Показано, что теплообмен со стенками слабо влияет на развитие нестационарного процесса в его начальной стадии. В то же время трение газа о стенки вызывает существенное затухание амплитуды колебаний параметров и слабо сказывается на изменении частоты колебаний.