Оптимальные решения прямой и двойственной задач

Задача 1.

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 133x₁+77x₂ > max, при системе ограничений:

5x₁+x₂?138.

x₁+4x₂?66.

9x₁+x₂?139.

Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Границы области допустимых решений. Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 133x₁+77x₂ > max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 133x₁+77x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F (X). Начало вектора — точка (0; 0), конец — точка (133; 77). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F (x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x₁+4x₂=66.

9x₁+x₂=139.

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 14, x₂ = 13.

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F (X) = 133*14 + 77*13 = 2863.

Построим двойственную задачу по следующим правилам.

• 1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.
• 2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.
• 3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.

Расширенная матрица A.

Транспонированная матрица A^T.

Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.

Неравенства, соединенные стрелочками (-), называются сопряженными.

5y₁ + y₂ + 9y₃?133.

y₁ + 4y₂ + y₃?77.

138y₁ + 66y₂ + 139y₃ > min.

y₁? 0.

y₂? 0.

y₃? 0.

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что.

Y = C*A^-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A^-1 =.

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 0.

y₂ = 16.

y₃ = 13.

Z (Y) = 138*0+66*16+139*13 = 2863.

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F (x) = Z (y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

• 5*14 + 1*13 = 83 < 138
• 1*14 + 4*13 = 66 = 66
• 9*14 + 1*13 = 139 = 139
• 1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т. е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₁ = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 55 (138−83).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

• 2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₂>0).
• 3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₃>0).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

• 5*0 + 1*16 + 9*13 = 133 = 133
• 1*0 + 4*16 + 1*13 = 77 = 77
• 1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₁>0).
• 2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₂>0).

Задача 2.

математический модель полезность сетевой Построим математическую модель оптимизации выпуска продукции с параметром, выражающим объем сырья:

5x₁+x₂r₁

x₁+4x₂66.

9x₁+x₂139.

Z=133x₁+77x₂MAX.

Найдем функции предельной полезности сырья и построим его график, определим функциональную зависимость максимальной выручки от объемов используемых ресурсов, построим графики этих функций.

Пусть объемы фонда времени и трудоресурсы остаются постоянными, меняется только объем сырья. При малом r₁>0 (а₀) будет производиться только продукция B,.

Сырье будет единственным лимитирующим ресурсом до тех пор, пока его объем не станет соответствовать прямой (а₁) (0;23), r₁=50+23=23 кг При r₁[0;23) =15 руб./кг При r₁>23 минимизирующими будут сырье и оборудование,.

Так будет до тех пор, пока объем сырья не станет соответствовать прямой (а₂) (76,7;7,7), r₁=576,7+7,7=391,2.

При r₁[23;391,2] =15 руб./кг При r₁>391,2 сырье станет избыточным, т. е. выше прямой (а₂).

При r₁[391,2;) = 0 руб./кг Оформим полученные результаты таблично и построим графики функций U₁(r₁) и Z₁(r₁):

Задача 3.

Математическая модель транспортной задачи:

F = ??c_ijx_ij, (1).

при условиях:

• ?x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (2)
• ?x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3)

x_ij? 0.

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные:

x₁₁ — количество груза из 1-го склада в 1-й магазин.

x₁₂ — количество груза из 1-го склада в 2-й магазин.

x₁₃ — количество груза из 1-го склада в 3-й магазин.

x₁₄ — количество груза из 1-го склада в 4-й магазин.

x₁₅ — количество груза из 1-го склада в 5-й магазин.

x₂₁ — количество груза из 2-го склада в 1-й магазин.

x₂₂ — количество груза из 2-го склада в 2-й магазин.

x₂₃ — количество груза из 2-го склада в 3-й магазин.

x₂₄ — количество груза из 2-го склада в 4-й магазин.

x₂₅ — количество груза из 2-го склада в 5-й магазин.

x₃₁ — количество груза из 3-го склада в 1-й магазин.

x₃₂ — количество груза из 3-го склада в 2-й магазин.

x₃₃ — количество груза из 3-го склада в 3-й магазин.

x₃₄ — количество груза из 3-го склада в 4-й магазин.

x₃₅ — количество груза из 3-го склада в 5-й магазин.

Ограничения по запасам:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ + x₁₅? 59.

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ + x₂₅? 38.

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ + x₃₅? 99.

Ограничения по потребностям:

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁? 74.

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂? 23.

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃? 86.

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄? 45.

x₁₅ + x₂₅ + x₃₅? 42.

Целевая функция:

9x₁₁ + 10x₁₂ + 8x₁₃ + 5x₁₄ + 7x₁₅ + 16x₂₁ + 17x₂₂ + 14x₂₃ + 12x₂₄ + 15x₂₅ + 14x₃₁ + 12x₃₂ + 11x₃₃ + 11x₃₄ + 12x₃₅ > min.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

• ?a = 59 + 38 + 99 = 196
• ?b = 74 + 23 + 86 + 45 + 42 = 270

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 74 (270—196). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

План начинается заполняться с верхнего левого угла.

Искомый элемент равен 9.

Для этого элемента запасы равны 59, потребности 74. Поскольку минимальным является 59, то вычитаем его.

x₁₁ = min (59,74) = 59.

Искомый элемент равен 16. Для этого элемента запасы равны 38, потребности 15. Поскольку минимальным является 15, то вычитаем его.

x₂₁ = min (38,15) = 15.

Искомый элемент равен 17.

Для этого элемента запасы равны 23, потребности 23. Поскольку минимальным является 23, то вычитаем его.

x₂₂ = min (23,23) = 23.

Искомый элемент равен 11 Для этого элемента запасы равны 99, потребности 86. Поскольку минимальным является 86, то вычитаем его.

x₃₃ = min (99,86) = 86.

Искомый элемент равен 11.

Для этого элемента запасы равны 13, потребности 45. Поскольку минимальным является 13, то вычитаем его.

x₃₄ = min (13,45) = 13.

Искомый элемент равен 0.

Для этого элемента запасы равны 74, потребности 32. Поскольку минимальным является 32, то вычитаем его.

x₄₄ = min (74,32) = 32.

Искомый элемент равен 0.

Для этого элемента запасы равны 42, потребности 42. Поскольку минимальным является 42, то вычитаем его.

x₄₅ = min (42,42) = 42.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n — 1 = 8. Следовательно, опорный план является вырожденным.

Строим новый план.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F (x) = 9*59 + 16*15 + 17*23 + 11*86 + 11*13 + 0*32 + 0*42 = 2251.

Искомый элемент равен 10.

Для этого элемента запасы равны 59, потребности 23. Поскольку минимальным является 23, то вычитаем его.

x₁₂ = min (59,23) = 23.

Искомый элемент равен 9.

Для этого элемента запасы равны 36, потребности 74. Поскольку минимальным является 36, то вычитаем его.

x₁₁ = min (36,74) = 36.

Искомый элемент равен 16.

Для этого элемента запасы равны 38, потребности 38. Поскольку минимальным является 38, то вычитаем его.

x₂₁ = min (38,38) = 38.

Искомый элемент равен 11.

Для этого элемента запасы равны 99, потребности 86. Поскольку минимальным является 86, то вычитаем его.

x₃₃ = min (99,86) = 86.

Искомый элемент равен 11.

Для этого элемента запасы равны 13, потребности 45. Поскольку минимальным является 13, то вычитаем его.

x₃₄ = min (13,45) = 13.

Искомый элемент равен 0.

Для этого элемента запасы равны 74, потребности 32.

Поскольку минимальным является 32, то вычитаем его.

x₄₄ = min (74,32) = 32.

Искомый элемент равен 0.

Для этого элемента запасы равны 42, потребности 42. Поскольку минимальным является 42, то вычитаем его.

x₄₅ = min (42,42) = 42.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n — 1 = 8. Следовательно, опорный план является вырожденным.

Строим новый план.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F (x) = 9*36 + 10*23 + 16*38 + 11*86 + 11*13 + 0*32 + 0*42 = 2251.

Искомый элемент равен 8.

Для этого элемента запасы равны 59, потребности 86. Поскольку минимальным является 59, то вычитаем его.

x₁₃ = min (59,86) = 59.

Искомый элемент равен 16.

Для этого элемента запасы равны 38, потребности 74. Поскольку минимальным является 38, то вычитаем его.

x₂₁ = min (38,74) = 38.

x.	x.		x.	x.
	x.	x.	x.	x.	38 — 38 = 0.
74 — 38 = 36.

Искомый элемент равен 14.

Для этого элемента запасы равны 99, потребности 36. Поскольку минимальным является 36, то вычитаем его.

x₃₁ = min (99,36) = 36.

Искомый элемент равен 12.

Для этого элемента запасы равны 63, потребности 23.

Поскольку минимальным является 23, то вычитаем его.

x₃₂ = min (63,23) = 23.

Искомый элемент равен 11.

Для этого элемента запасы равны 40, потребности 27. Поскольку минимальным является 27, то вычитаем его.

x₃₃ = min (40,27) = 27.

Искомый элемент равен 11.

Для этого элемента запасы равны 13, потребности 45. Поскольку минимальным является 13, то вычитаем его.

x₃₄ = min (13,45) = 13.

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n — 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F (x) = 8*59 + 16*38 + 14*36 + 12*23 + 11*27 + 11*13 + 0*32 + 0*42 = 2300.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых.

u_i + v_j = c_ij,.

полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 8; 0 + v₃ = 8; v₃ = 8.

u₃ + v₃ = 11; 8 + u₃ = 11; u₃ = 3.

u₃ + v₁ = 14; 3 + v₁ = 14; v₁ = 11.

u₂ + v₁ = 16; 11 + u₂ = 16; u₂ = 5.

u₃ + v₂ = 12; 3 + v₂ = 12; v₂ = 9.

u₃ + v₄ = 11; 3 + v₄ = 11; v₄ = 8.

u₄ + v₄ = 0; 8 + u₄ = 0; u₄ = -8.

u₄ + v₅ = 0; -8 + v₅ = 0; v₅ = 8.

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

• (1;1): 0 + 11 > 9; ?₁₁ = 0 + 11 — 9 = 2
• (1;4): 0 + 8 > 5; ?₁₄ = 0 + 8 — 5 = 3
• (1;5): 0 + 8 > 7; ?₁₅ = 0 + 8 — 7 = 1
• (2;4): 5 + 8 > 12; ?₂₄ = 5 + 8 — 12 = 1
• (4;1): -8 + 11 > 0; ?₄₁ = -8 + 11 — 0 = 3
• (4;2): -8 + 9 > 0; ?₄₂ = -8 + 9 — 0 = 1

max (2,3,1,1,3,1) = 3.

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 5.

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,3 > 3,3 > 3,4).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (3, 4) = 13. Прибавляем 13 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 13 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых.

u_i + v_j = c_ij,.

полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 8; 0 + v₃ = 8; v₃ = 8.

u₃ + v₃ = 11; 8 + u₃ = 11; u₃ = 3.

u₃ + v₁ = 14; 3 + v₁ = 14; v₁ = 11.

u₂ + v₁ = …