Основные понятия числового ряда

Числовым рядом называется сумма вида.

(1.1).

где ,…,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членназывается общим членом ряда.

Суммы.

.

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм. Есл и при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу, то ряд называется сходящимся, а число — суммой сходящегося ряда, т. е.

и .

Эта запись равносильна записи.

Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т. е., и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида (1.2) называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Пример 2.

Ряд вида (1.3).

называется гармоническим.

Пример 3.

Ряд вида (1.4).

называется обобщенным гармоническим.

Знакопеременный ряд Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли).

Функциональный ряд Ряд, членами которого являются функции от, называется функциональным:

Придавая определенное значение, получим числовой ряд.

который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимостифункционального ряда; если же ряд расходится — точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от :. Определяется она в области сходимости равенством, где — частичная сумма ряда.

Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида, где числа называются коэффициентами ряда, а член — общим членом ряда.

Ряды Тэйлора и Маклорена

Важно уметь разлагать функцию в степенной ряд, т. е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида.

.

Если, то получим частный случай ряда Тейлора.

.

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов. Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо: Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке, т. е.,…,.

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле:

.