Пересечение множеств. 
Бесконечность и множество

Рассмотрим пересечение двух прямых линий. Место пересечения точка. К какой линии из двух прямых отнести эту точку? И к той, и к другой, поскольку речь идёт об общей точке. Так и у множеств. Возьмём два множества: А = {1,2,3,4,5,6}, В = {5,6,7,8,9} Общими у них являются элементы 5 и 6. Следовательно, пересечение этих множеств — является множество {5,6}.

Для записи пересечения множеств математики ввели новый знак похожий на опрокинутую вниз головой большую латинскую букву U.

Вот таким образом. Запишем наше пересечение на языке математики:

АВ = {1,2,3,4,5,6}{5,6,7,8,9} = {5,6}.

Приведём соответствующее определение: Пересечением двух множеств, А и В называется множество, состоящее из тех, и только тех, элементов, которые входят и во множество А, и во множество В.

Покажем, как это записывается «математической стенографией» .

АВ = {х | х, А и хВ}.

Объединение множеств

Рассмотрим операцию, которая называется объединением множеств. Знак объединения напоминает латинскую букву U и выглядит так и. Возьмём два множества: А = {1, 2, 3, 4}, В = {4, 5, 6, 7} Результатом их объединения будет, А В ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим ещё один пример:

С = {m, n, p, q}, D = {г, s, p, q, t} С D = {m, n, p, q, г, s, p, q, t}. Два раза записаны элементы p и q в одном множестве — этого делать нельзя. Значит: С D = {m, n, p, q, г, s, t}.

Объединением двух множеств, А и В называется множество, которое образуют все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств, А и В.

Напишем это определение на языке математики:

AB ={x|xA или x В}.

Это следует читать так: объединением множеств, А и В является множество, состоящее из элементов х, обладающих свойством: х является элементом множества, А или множества В.

Возьмём два множества: А = {1, 2, 3, 4}, В = { 5, 6, 7} А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Только в том случае, когда у множеств нет общих элементов, число элементов объединения равно сумме элементов отдельных множеств. В других случаях их число меньше.

Рассмотрим результат объединения множества с самим собой: А={ 1,2,3,4},.

А, А ={1,2,3,4} {1,2, 3,4} = {1,2, 3,4}; АА = А.

Теперь построим объединение любого множества с его подмножеством.

М= {а, Ь, с, d, е, f}, N={b, с, d}. М N= {a, b, с, d, е, f}.

Если NM, to М N = М.

Рассмотрим некоторые свойства операций над множествами. Используем круги Эйлера.

А В Пересечение множеств, А и В изобразится как общая часть этих кругов.

Объединение множеств, А и В изобразится как множество, состоящее из всех элементов множества, А и всех элементов множества В.

Для любого множества, А выполняются равенства:

А, А = А; А, А = А.

2. Пересечение любых множеств, А и В включается в каждое из них, а каждое из этих множеств включается в их объединение:

A В А; А, А В.

3. Для любых множеств, А и В, где, А есть подмножество множества В, их пересечение равно более узкому подмножеству, а объединение более широкому из них.

А В = А; АВ = В.

Задача 1. Найдите множества, А и В, если, А В = {1, 2, 3}, A D = {1, 2, 3, 4, 5}.

Решение. Из определений пересечения и объединения множеств следует, что элементы 1, 2, 3 входят в оба множества, А и В, а элементы 4 и 5 — только в одно из них. Отсюда и получаем ответ, перебирая все случаи.

Ответ: А= {1, 2, 3}, В = {1, 2, 3, 4, 5}.

А={1,2,3,4,5}, В = {1,2,3}.

А={1,2,3,4}, В={1,2,3,5}.

А={1,2,3,5}, В = {1,2, 3,4}.

Задача 2. Найдите пересечение множеств.

А ={1,4, 7,…, 898} D= {1,5, 9,…, 897} С = {1, 6,11,…, 896}.

Ответ: A D С={1}.

А здесь познакомимся с задачами, при решении которых используются круги Эйлера. множество пересечение произведение обозначение Задача 3. В одном башкирском селе каждый житель говорит или по — башкирски, или по-русски, или на обоих языках. 912 жителей села говорит по-башкирски, 653 по-русски, причём 435 человек говорит на обоих языках. Сколько жителей в этом селе?

Решение. Применим круги Эйлера. Через, А обозначим множество жителей села, которые говорят по-башкирски, через В — множество жителей, которые говорят по-русски.

Будем обозначать число элементов любого конечного множества, А через п (А). Тогда по условию: n (а) = 912, п{В) = 653, п (А В) = 435. Нам нужно найти число элементов в объединении множеств, А и В. Прежде всего сложим числа п (А) и п (В)

Но при этом элементы, входящие в пересечение множеств, А и В, считаются дважды.

Следовательно, из этой суммы нужно вычесть п{А В). Получаем.

п (АВ)= п (А) + п (В) — п (АВ);

п{АВ) = 912 + 653−435 = 1130. Ответ: в селе 1130 жителей.