Полярная система координат в пространстве

Система уравнений.

(1.4).

осуществляет переход от полярных (сферических) координат в пространстве к декартовым (рис. 7). Здесь — расстояние точки Р (х, у, z) до начала координат (полюса полярной системы), — угол между радиус-вектором точки P и его проекции на плоскость — угол между указанной проекцией и положительным направлением оси x. Его отсчитывают в том направлении, в котором надо вращать вокруг оси z ось x, чтобы прийти к оси y кратчайшим путем. Можно считать, что и .

Функции справа в (1) непрерывно дифференцируемы с якобианом.

. (1.5).

Рис. 7 Рис.8

Пусть есть поверхность, описываемая в полярных координатах функцией, непрерывной на замыкании области и пусть — трехмерная область пространства (x, y. z), ограниченная поверхностью и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются на край (рис. 8). Тогда для непрерывной на функции f (x, y, z) имеет место равенство.

(1.6).

где .

Мы воспользовались общей формулой (3), учитывая равенство (4) и (5). В данном случае, поэтому .

Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах, рассечем пространство на малые части концентрическими шаровыми поверхностями с центром в полярном полюсе (точке), плоскостями, проходящими через ось z, и коническими поверхностями, определяемыми углами и (рис. 9), имеющими своей осью ось z. Легко видеть, что полученные при этом малые ячейки можно считать приближенно прямоугольными параллелепипедами с ребрами, поэтому их объем, с точностью до бесконечно малых высшего порядка,.

.

где — одна из точек ячейки.

Рис. 9.

Пример 1.3. Вычислить тройной интеграл.

.

где — область точек с положительными координатами, ограниченная поверхностями x=0, y=0, z=0, .

Введем полярные (сферические) координаты по формулам (1), тогда для области :. Согласно формуле (3) имеем.