Мощность множества. 
Целые положительные числа

Определение (1.8). Два множества называются равномощными, если существует биективное отображение одного из них на другое. Для конечных множеств это означает, что они содержат одинаковое количество элементов, но это определение имеет смысл и для бесконечных множеств. [1].

Существует теорема, которая говорит, что равномощность есть отношение эквивалентности на любой непустой совокупности множеств. Используя эту теорему и утверждение, что любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, можем ввести понятие мощности множества.

Определение (1.9). Мощностью множества M будем называть класс множеств, равномощных с множеством M. Другими словами, мощность есть обобщение понятия количества элементов во множестве, которое имеет смысл и для бесконечных множеств. Для обозначения мощности будем использовать вертикальные отрезки, с обеих сторон буквы, обозначающей множество (M). [1].

Определение (1.10). Непустое множество М называется конечным, если оно не равномощно никакому собственному подмножеству. Мощности M непустых конечных множеств условимся называть натуральными числами. [1].

Множество натуральных чисел будем обозначать буквой. Так как.

.

То.

.

Если.

.

то полагаем.

.

вводя тем самым натуральное число 1. Если.

.

То.

.

Если.

.

то полагаем.

.

вводя тем самым натуральное число 2. Если.

.

То.

.

Если.

.

то полагаем.

.

вводя тем самым натуральное число 3. Продолжая этот процесс до тех пор, пока не окажется, что.

.

вводим тем самым натуральное число.

. [1].

Таким образом, можно представить множество в следующем виде:

.

Очевидно, что множество бесконечное. Введём арифметические операции над натуральными числами.

1. Сумму двух натуральных чисел определим равенством.

.

где и — непересекающиеся конечные множества, для которых.

.

Из коммутативности и ассоциативности дизъюктного объединения вытекают соответствующие свойства суммы чисел:

. [1].

2. Пусть — непустые конечные множества, причём,. Далее, пусть ,. Разность.

определяется так:

. [1].

Поскольку.

.

Причём.

.

То.

т. е.. [1].

3. Произведение натуральных чисел, определим так:

.

где и — конечные множества, для которых,. Произведение обладает свойством коммутативности, т. е.

.

Из ассоциативности декартова произведения множеств вытекает ассоциативность произведения натуральных чисел, т. е.

.

Так же можно определить распределительных закон:

.

И наконец,.

[1].