Действие дифференциальных операторов на вектор, заданный в общем виде

В дальнейшей росписи действий операторов на вектор, заданный в общем виде, его составляющие будут заключены в круглые скобки исключительно с целью указания на то, что заключенные в них операторы «grad» и «rot» не будут нами расписываться, а нужны только для обозначения градиентной и вихревой составляющей вектора.

а) Действие оператора «rot» на вектор в общем виде:

rot F rot (grad) rot (rot A) rot (rot A) ,.

т.к.:

rot (grad) 0.

Т.е. после действия оператора «rot» на вектор F в общем виде результирующий вектор носит строго вихревой характер, и его величина не зависит от градиентной составляющей (grad) вектора F.

б) Действие оператора «div «на вектор в общем виде:

divF div (grad) div (rot A) div (grad) ,.

т.к.:

div rot 0,.

результат действия оператора «div» на вектор в общем виде есть скаляр, величина которого не зависит от вихревых составляющих вектора F.

в) Действие оператора «rot rot» на вектор в общем виде:

rot rot F rot rot (grad—) + rot rot (rot A).

Но, т.к.:

rot rot (grad —) 0то:

rot rotF rot rot (rot A) grad div (rot A) ?(rot A) (rot A).

Поскольку в результате действия оператора «rot rot» на вектор F под оператором () остался только вектор «rot A», имеющий строго вихревой характер, бессмысленно вводить в вектор «А» какую либо градиентную составляющую, т.к. после действия оператора «rot» она тождественно обнуляется и никак не определяется данным уравнением.

Из того, что:

rot rot (grad) 0,.

следует:

grad div (grad) (grad).

Т.е. роспись оператора зависит от вида вектора, на который действует оператор, и в общем виде определяется следующим выражением:

grad div rot rot .

Действие оператора набла () также зависит от вида функции, на которую он действует, так:

grad.

.

[ rot P ] rot rot P.

В данном перечне приведены только действия операторов, не приводящие к тождественному нулю.

Проведенный анализ классической теории поля позволил:

• 1) конкретизировать постановку классической полевой задачи, отбросив задачи приводящие к математическим парадоксам и не имеющие физического смысла;
• 2) показать фундаментальность разделения полей на градиентные и вихревые;
• 3) дать точные выражения действий дифференциальных операторов классической теории поля на вектор, заданный в общем виде, из которых стало видно, что после действия дифференциального оператора классической теории поля на вектор поля, заданный в общем виде, нетривиальный результат получается только от действия оператора на соответствующую ему составляющую вектора в общем виде.

Т.е.

div F div (grad),.

т.к.

div (rot A) 0 ;

rot F rot (rot A),.

т.к.

rot (grad) 0 ;

rot rot F rot rot (rot A) ;

grad div F grad div (grad) ;

при F — grad rot A .

Из чего следует, что если уравнение задано в виде соотношения для действия на искомый вектор оператора «rot», то из этого уравнения можно получить в качестве решения только вихревой вектор как интеграл по замкнутому контуру. электромагнетизм волна максвелл Если задано уравнение в виде действия на вектор операторов «div» или «grad div», то из этого уравнения можно получить в качестве решения только скаляр или вектор градиентного поля.

Приложение полученных результатов исследования классической теории поля к системе уравнений электродинамики Максвелла Рассмотрим полную систему уравнений электродинамики Максвелла для электрических и магнитных полей в вакууме с позиции основных положений классической теории поля. С этой целью перепишем полную систему уравнений для электрических и магнитных полей.

(6).

(7).

(8).

. (9).

С позиции классической теории поля:

• 1) вектор магнитной индукции B представлен в уравнениях (5;6;8;9) данной системы уравнений, из которых видно, что вектор B носит строго вихревой характер (6;8;9), и его источники (возбудители) в исследуемом пространстве заданы уравнением (5). Т. е. поле вектора B соответствует основной задаче теории поля и может быть однозначно получено как решение данной системы уравнений после подстановки соответствующих краевых и начальных условий;
• 2) вектор напряженности электрического поля E, согласно уравнениям (6) и (7) данной системы, имеет отличные от нуля и дивергенцию, и ротор и, следовательно, имеет отличные от нуля вихревую и градиентную составляющие. Т. е., должен быть представлен в общем виде согласно теореме Гельмгольца (с изменением знака перед потенциальной частью):

E grad j—— rot P;

и.

div P 0,.

где P — некий векторный потенциал вихревой составляющей электрического поля, физический смысл которого будет выяснен дальше.

Анализируя уравнения (5) и (6), приходим к выводу, что они дают соотношения для действий оператора «rot «на векторы полей B и E, и, как было показано ранее, нетривиальные решения этих уравнений можно получить только для векторов вихревых полей. Но, т.к. вектор E имеет и вихревую, и градиентную составляющие, то решением уравнений (5) и (6) может быть только вихревая составляющая вектора E, т. е. rotP. градиентная составляющая вектора E может быть определена только из уравнения (7). Но, очевидно, уравнение (7) описывает только статические электрические поля или поля, распространяющиеся с бесконечной скоростью, что лишено всякого физического смысла. Отсюда следует, что система уравнений электродинамики Максвелла не содержит в себе описание нестационарных градиентных электрических полей и механизма их распространения.

Для того, чтобы убедиться в правильности подобных рассуждений, проделаем весь путь традиционного метода решения системы уравнений электродинамики.

Решение системы уравнений электродинамики Подставим в уравнение (5) системы уравнений электродинамики вектор E в общем виде:

. (10).

Уравнение (10) устанавливает связь между вектором rotB (имеющим строго вихревой характер) и векторами, составляющими правую часть уравнения (10). Однако очевидно, что в неё входят векторы имеющие как вихревой, так и градиентный характер. Но, сумма двух градиентов не может быть ротором, и, следовательно, cумма градиентных составляющих векторов, входящих в правую часть уравнения (10), равна нулю, а, значит, и не участвует в возбуждении поля магнитной индукции B. Т. е., один из основных постулатов электромагнетизма Максвелла — предположение способности изменяющегося во времени электрического поля конденсатора, имеющего в том числе и градиентную составляющую, возбуждать в окружающем пространстве магнитное поле, вступает в противоречие, в части градиентной составляющей, с фундаментальными положениями классической теории поля, являющейся на сегодняшний день основной формой записи уравнений электродинамики. Анализ литературных источников показал, что нет ни одного экспериментального подтверждения гипотезы Максвелла о возбуждении магнитного поля изменяющейся во времени градиентной составляющей электрического поля конденсатора («Токи смещения»). Автору настоящей работы известны попытки экспериментальной проверки данной гипотезы на кафедре общей физики МГПИ им. Ленина профессором Маловым Н. Н. (ныне покойным). В результате проведенных экспериментальных исследований профессор Малов Н. Н. пришел к выводу о невозможности обнаружения магнитного поля, возбуждаемого изменяющейся во времени градиентной составляющей электрического поля конденсатора, изза наличия магнитного поля токов, текущих по пластинам конденсатора. Всё ранее сказанное дает основание для утверждения того, что гипотеза Максвелла о возбуждении магнитного поля изменяющимся во времени электрическим полем конденсатора неверна в части градиентной составляющей, как не получившая экспериментального подтверждения и противоречащая основным положениям классической теории поля, и, следовательно, уравнение (10) нужно переписать с учетом предыдущих замечаний. Т. е.:

(11).

Из данного уравнения следует, что источником магнитного поля являются строго вихревые электрические токи J и изменяющаяся во времени вихревая составляющая (rotP) электрической напряженности E.

Необходимо также заметить, что «выпавшие» из уравнения (11) градиентные составляющие векторов J и E сохраняют свое соотношение, имеют место быть в теории электричества, но рассмотрение физических процессов, связанных с ними, выходит за рамки данной работы, как не относящееся к вопросам магнетизма непосредственно.

Из уравнения (6) полной системы уравнений электродинамики следует, что источником электрического поля E является изменяющееся во времени поле магнитной индукции B. Перепишем уравнение (6), представив вектор E в общем виде:

rot (grad j rot P), (12).

но, т.к.

rot (grad j) 0 ,.

то из уравнения (12) получаем, с учетом замечания:

rot (rot P) .

Т. е., изменяющееся во времени поле магнитной индукции B является источником только вихревой составляющей (rotP) вектора электрической напряженности E. Но, согласно уравнению (9) полной системы уравнений электродинамики :

B rot A.

и, следовательно,.

rot (rot P) (rot A) .

Откуда,.

rot P .

Т. е., вихревая составляющая (rotP) электрической напряженности E есть ничто иное, как частная производная по времени от векторного потенциала A магнитного поля, взятого с обратным знаком, имеющего строго вихревой характер. Рассмотрим основания, приведшие Максвелла к утверждению о том, что изменяющееся во времени магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Как известно, основанием для изложенного утверждения послужило появление электрического тока в цепи вторичной обмотки катушки индуктивности при протекании переменного во времени тока в первичной катушке, что наблюдалось в хорошо известных опытах Фарадея. Но, т.к. вторичная обмотка катушки индуктивности была расположена таким образом, что она не контактировала непосредственно с полем магнитной индукции В первичной катушки и, как бы, охватывала область пространства, содержащую его, а из закона Ома уже было известно, что ток в проводнике возникает под действием электрической напряженности E, то и был сделан вывод о возбуждении электрического вихревого поля E в пространстве, окружающем изменяющееся во времени поле магнитной индукции B. Сам по себе, данный вывод парадоксален уже потому, что, как известно, закон Ома выполняется только во вторичной цепи и не выполняется внутри источника Э.Д.С., т.к. в нём ток течет навстречу напряженности электрического поля, в результате действия внешних вызывающих сил неэлектрической природы, а вторичная обмотка катушки индуктивности (в указанном эксперименте) выступает в роли источника Э.Д. С. Тем не менее, получить расчетным путем значение Э.Д.С. индукции во вторичной обмотке катушки индуктивости не удалось без введения нового поля — поля векторного потенциала A, причем, как было показано раньше, результат расчета Э.Д.С. индукции в точности совпадал с измеренной величиной, при условии, что напряженность электрического поля строго равнялась нулю. Т. е., введение понятия «вихревое электрическое поле» ничего не дало для расчетного получения значения Э.Д.С. индукции, но породило парадокс, суть которого была изложена ранее. Из опыта работы с электрическими полями заряженных тел было известно, что на металлических предметах, помещенных в электрическое поле, Э.Д.С. не возникает в следствие высокой поляризационной способности металлов, обусловленной большим количество свободных носителей электрических зарядов в них. И, наоборот, если мы хотим получить Э.Д.С. на металлических предметах, то мы должны воздействовать на них некоторой силой неэлектрической природы, например: механической, тепловой, химической и т. д., под действием которой происходит разведение электрических зарядов внутри проводника, что и вызывает возникновение в нём электрической напряженности E как силы, противодействующей дальнейшему разведению электрических зарядов. Равенство внешних сил неэлектрической природы, воздействующих на электрические заряды в проводнике, и электрических внутренних противодействующих сил в нём и есть условие равновесия. Интеграл от напряженности электрического поля E внутри проводника, взятой с обратным знаком (т.к. E — grad?), по длине проводника является искомой Э.Д. С. Но, тогда, наличие Э.Д.С. на зажимах вторичной обмотки катушки индуктивности (при протекании электрического переменного во времени тока в первичной катушке) является необходимым и достаточным условием для утверждения того, что на электрические заряды в проводнике вторичной обмотки катушки при протекании электрического переменного тока в первичной обмотке действует сила неэлектрической природы. Если учесть, что электрическая напряженность по определению есть сила, действующая на единичный электрический заряд, то, с учетом ранее изложенных рассуждений, приходим к выводу, что на покоящийся электрический заряд, помещенный в переменное во времени магнитное поле, действует сила со стороны магнитного поля, равная скорости изменения во времени вектора потенциала A магнитного поля, умноженной на величину электрического заряда, взятого с обратным знаком. Или:

F q ,.

где:F сила.

q электрический заряд,.

A векторный потенциал магнитного поля.

Если теперь полученное выражение для вихревой составляющей «rot P» подставить в уравнение (11), дополнив уравнением (9) из полной системы уравнений электродинамики, определяющим векторный потенциал магнитного поля, а также полученным выражением для силы, действующей на покоящиеся электрические заряды в переменном во времени магнитном поле, дописав также выражение для силы, действующей на движущиеся заряды в постоянном магнитном поле (сила Лоренца), получим полную систему уравнений магнитного поля в свободном пространстве:

.

B rot A ,.

div A div B div J 0,.

F q {[ B v ] } ,.

или, что-то же самое:

(13).

div A div J 0, (14).

F q {[ rot A v ] }. (15).

Где:A — векторный потенциал магнитного поля,.

J — вектор плотности электрического тока,.

F — сила, действующая на электрические заряды в магнитном поле,.

q — электрический заряд,.

j 0 — абсолютная магнитная проницаемость окружающей среды,.

c — скорость распространения магнитного поля в окружающей среде.

Полученная система уравненний (13), (14), (15), при очевидной простоте по сравнению с системой уравнений электродинамики, дает полное, непротиворечивое описание в векторной форме как распространения и распределения магнитного поля в пространстве по заданному распределению источников поля, так и всей гаммы эффектов, связанных с электромагнитной индукцией, распространением света и радиоволн, без каких-либо дополнительных соотношений, в строгом соответствии с фундаментальными положениями классической теории поля и известными законами физики.

Примеры решения прикладных задач с помощью полученной системы уравнений магнитного поля.

1. Механизм распространения магнитного поля в пространстве и перенос энергии магнитными волнами (вектор Пойнтинга).

Как известно, решением однородного волнового уравнения Даламбера в свободном пространстве для векторного потенциала магнитного поля является распространяющаяся в пространстве, окружающем источники поля, разбегающаяся, поперечная (в силу строго вихревого характера вектора A) волна запаздывающего векторного потенциала A. При удалении от первичного источника поля (передающей антенны) на расстояние, много большее размеров передающей антенны и длины волны, и размерах приемной антенны, соизмеримых с длиной волны, фронт волны воспринимается в виде плоскости, нормальной к линии «r «, проведенной от передающей антенны к приемной (линия распространения). Такие волны называются плоскими волнами и описываются следующим выражением: